Question

En un triángulo rectángulo cualquiera, encuentra las medidas faltantes si: a = 4 ; <B = 27°.​

Answer 1

En el triángulo rectángulo propuesto la hipotenusa mide aproximadamente 8,811 unidades. El otro cateto mide aproximadamente 7,850 unidades. El otro ángulo agudo tiene un valor de 63°

Resolución de un triángulo rectángulo

Dado un triángulo rectángulo en donde se conoce el valor de un cateto y de uno de sus ángulos agudos, se pide hallar las medidas faltantes

Donde emplearemos la notación habitual para los triángulos rectángulos, denominando a y b a sus catetos y c a la hipotenusa

Se agrega gráfico adjunto

Solución

Hallando la medida de los lados

Hallando la medida de la hipotenusa (c)

Donde al cateto a del cual sabemos su medida, se opone al ángulo B de 27° dado por enunciado

De ese modo para hallar el valor de la hipotenusa (c), la relacionamos con el seno del ángulo dado

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Planteamos:

$\boxed { \bold { sen(27)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(27)\° = \frac{a }{ c } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{a }{ sen(27)\° } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{4 \ unidades }{ sen(27)\° } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{4 \ unidades }{ 0,5439904997395 } }}$

$\large\boxed { \bold { c =8,811\ unidades }}$

La medida de la hipotenusa (c) es de aproximadamente 8,811 unidades

Hallando la medida del otro cateto (b)

Como se trata de un triángulo rectángulo, para hallar el valor del lado (cateto) desconocido, podemos hacerlo de dos modos

1) Empleando el teorema de Pitágoras

Dado que ahora conocemos el valor de dos de los lados de triángulo rectángulo, podemos hallar la medida del tercero por medio del teorema de Pitágoras

2) Empleando las razones trigonométricas habituales

Donde se arribará al mismo resultado

Lo resolveremos por ambos métodos, no siendo necesario que lo resuelva por ambos.

Sólo elija el método con el que se sienta más familiarizado

1) Empleando el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Hallamos la medida del cateto b por Pitágoras

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = c^{2} \ - \ a^{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 8,811^{2} \ - \ 4^{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 77,633721 \ - \ 16}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 61,633721 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ b^{2} } = \sqrt{61,633721} }}$

$\boxed {\bold { b = \sqrt{61,63721} }}$

$\large\boxed {\bold { b \approx 7,850 \ unidades }}$

2) Empleando razones trigonométricas

Relacionamos el cateto a dado por enunciado con el ángulo de 27° que se le opone para hallar la medida de b con la tangente del ángulo

La tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Planteamos:

$\boxed { \bold { tan(27)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(27)\° = \frac{a }{ b } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{a }{ tan(27)\° } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{4 \ unidades }{ tan(27)\° } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{4 \ unidades }{ 0,5095254494944 } }}$

$\large\boxed { \bold { b =7,850\ unidades }}$

La medida del cateto b es de aproximadamente 7,850 unidades

Hallando el valor de los ángulos

Sabemos que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

Donde conocemos el valor de uno de los ángulos agudos, dado por enunciado

Luego si la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180\°= A + B + C} }}$

$\boxed {\bold { 180\°= A + 27\° + 90\°} }}$

$\boxed {\bold { A = 180\° - 27\° - 90\°} }}$

$\large\boxed {\bold { A = 63\° }}$