Question

En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que sen A+ sen B+ cos A +cos B = 3 Calcula el valor de tg A + tg B

Answer 1

Hola, veamos

Triangulo rectángulo

es un triángulo en el cual uno de sus ángulos es 90° y los otros dos ángulos suman 90° (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°) esa es la razón por lo que los otros ángulos deben sumar 90°

bien!!!

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

son 6 razones trigonométricas las cuales solo enunciare tres (para resolver el problema)

en la imagen adjunta se muestran más detalles

del problema

senA+senB+cosA+cosB=3

la idea es expresarlo todo con respecto a longitudes

por lo que nos quedaría

$\cfrac{a}{c} +\cfrac{b}{c} +\cfrac{a}{c} +\cfrac{b}{c} =3\\ \\ \cfrac{a}{c} +\cfrac{b}{c} =\cfrac{3}{2}$

o es lo mismo a decir (por fracciones homogéneas)

$\cfrac{a+b}{c} =\cfrac{3}{2}$

como es una igualdad elevamos al cuadrado a ambos miembros

$(\cfrac{a+b}{c})^{2} =(\cfrac{3}{2})^{2}$

desarrollamos (por binomio al cuadrado)

$\cfrac{a^{2}+b^{2} +2ab }{c^{2} } =\cfrac{9}{4}$

pero sabemos (por el teorema de pitagoras) : a²+b²=c²

$\cfrac{c^{2} +2ab }{c^{2} } =\cfrac{9}{4}$

operando :

$1+\cfrac{2ab}{c^{2} } =\cfrac{9}{4}\\ \\ \cfrac{2ab}{c^{2} } =\cfrac{9-4}{4} \\ \\ \cfrac{2ab}{c^{2} } =\cfrac{5}{4} \\ \\ \cfrac{c^{2} }{ab} =\cfrac{8}{5}$

Piden :

tanA+tanB

$\cfrac{a}{b} +\cfrac{b}{a} =\cfrac{a^{2}+b^{2} }{ab} \\ \\ \cfrac{a}{b} +\cfrac{b}{a} =\cfrac{c^{2} }{ab}\\ \\ \cfrac{a}{b} +\cfrac{b}{a} =\cfrac{8}{5}$

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso: