Question

En un triángulo el lado a mide 8 cm; el ángulo B mide 42 grados y el ángulo C mide 50 grados. ¿Cuánto mide el lado c?.

Answer 1

La medida del lado c es de 6.13 centímetros

Resolución de triángulo

Datos

$\bold {B = 42^0}$

$\bold {C = 50^0}$

$\bold {a = 8\ cm}$

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Donde se pide hallar la medida del lado c

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del del tercer ángulo A

Sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = A+ B+C }}$

$\boxed {\bold { 180^o =A+ 42^o+ 50^o }}$

$\boxed {\bold {A = 180^o- 42^o - 50^o }}$

$\large\boxed {\bold {A= 88^o }}$

El valor del ángulo A es de 88°

Calculamos la dimensión del lado c

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{8 \ cm }{ sen (88^o ) } = \frac{c }{sen(50 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {c = \frac{ 8 \ cm\ . \ sen(50^o ) }{ sen(88^o ) } }}$

$\boxed { \bold {c = \frac{ 8 \ cm \ . \ 0.766044443119 }{ 0.99390827019 } }}$

$\boxed { \bold {c = \frac{ 6.12835554492 }{ 0.99390827019 } \ cm}}$

$\boxed { \bold {c = 6.13209\ cm}}$

$\large\boxed { \bold {c = 6.13 \ cm}}$

La medida del lado c es de 6.13 centímetros

Aunque el enunciado no lo pida determinamos el valor del lado faltante del triángulo

Hallamos la longitud del lado b

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{8 \ cm }{ sen (88^o ) } = \frac{b }{sen(42 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 8 \ cm\ . \ sen(42^o ) }{ sen(88^o ) } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 8 \ cm \ . \ 0.669130606359 }{ 0.99390827019 } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 5.353044850872 }{ 0.99390827019 } \ cm}}$

$\boxed { \bold {b = 5.3563\ cm}}$

$\large\boxed { \bold {b = 5.36 \ cm}}$

El valor del lado b es de 5.36 centímetros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones de los lados y los ángulos planteadas