Question

En un triángulo, aplicando la ley * de senos tenemos los ángulos A=50° y B=30° y tenemos al lado a 10. Determina la longitud del lado b. ​

Answer 1

La longitud del lado b es de 6.53 unidades

Resolución de triángulo

Datos

$\bold {A = 50^0}$

$\bold {B = 30^0}$

$\bold {a = 10\ u}$

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Donde se pide hallar la longitud del lado b

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos la longitud del lado b

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{10 \ u }{ sen (50^o ) } = \frac{b }{sen(30 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 10 \ u \ . \ sen(30^o ) }{ sen(50^o ) } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } =0.5 }$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 10 \ u \ . \ 0.5 }{ 0.766044443119 } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 5 }{ 0.766044443119 } \ u}}$

$\boxed { \bold {b = 6.527086 \ u}}$

$\large\boxed { \bold {b = 6.53 \ unidades}}$

El valor del lado b es de 6.53 unidades

Aunque el enunciado no lo pida determinamos los componentes restantes del triángulo

Hallamos el valor del del tercer ángulo C

Sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = A+ B+C }}$

$\boxed {\bold { 180^o = 50^o+ 30^o+C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 50^o - 30^o }}$

$\large\boxed {\bold {C= 100^o }}$

El valor del ángulo C es de 100°

Calculamos la dimensión del lado faltante del triángulo -c-

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{10 \ u }{ sen (50^o ) } = \frac{c }{sen(100 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {c = \frac{ 10 \ u \ . \ sen(100^o ) }{ sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold {c = \frac{ 10 \ u \ . \ 0.984807753012 }{ 0.766044443119 } }}$

$\boxed { \bold {c = \frac{ 9.84807753012 }{ 0.766044443119 } \ u}}$

$\boxed { \bold {c = 12.85575 \ u}}$

$\large\boxed { \bold {c = 12.86 \ unidades}}$

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones de los lados y los ángulos planteadas