Question

En un triángulo abc, recto en b, se tiene que sen asenc =1/2. Calcule (seca secc+ 2)2.

Answer 1

La operación entre las secantes de los ángulos agudos del triángulo rectángulo tiene como resultado 16.

Producto de cosenos de los ángulos en el triángulo rectángulo:

Si el triángulo es recto en B, los ángulos 'a' y 'c' tienen que ser complementarios para cumplir el teorema de los ángulos internos. Entonces, aplicando identidades trigonométricas queda:

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)\\\\a+b=90\°=>cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)=0\\\\cos(a)cos(b)=sen(a)sen(b)=\\\\sen(a)sen(b)=\frac{1}{2}=>cos(a)cos(b)=\frac{1}{2}$

Cálculo de la operación solicitada entre las secantes

Como la secante es la recíproca del coseno, la operación solicitada puede resolverse de esta forma:

$(sec(a)sec(b)+2)^2=(\frac{1}{cos(a)}\frac{1}{cos(b)}+2)^2\\\\=>(\frac{1}{cos(a).cos(b)}+2)^2=(\frac{1}{\frac{1}{2}}+2)^2=(2+2)^2=16$