Question

En un triángulo ABC, recto en B, se tiene que sen AsenC =1/2. Calcule (secA secC 2)2.

Answer 1

En el triángulo ABC, recto en B, se tiene que (secA secC *2)^2 = 16.

A partir de la siguiente información:

                          $\sin (A)\sin(C) = \frac{1}{2}$

Se pide determinar:

                              $[2\sec(A)\sec(C)]^2$

¿Cómo se relacionan las expresiones en el triángulo ABC?

El triángulo se muestra en la figura. Para resolver este problema realizamos los siguientes pasos:

1. Expresar las funciones trigonométricas en función de los lados del triángulo.
2. Comparar las funciones para obtener la expresión solicitada.

A continuación te explicamos la solución.

• Paso 1: Funciones trigonométricas expresadas en función de los lados:

Del triángulo mostrado en la figura se obtiene:

                                    $\sec(A) = \frac{1}{\cos(A)} \\\\\sec(A) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}\\\\\sec(A) = \frac{ac}{ab}$

                                    $\sec(C) = \frac{1}{\cos(C)} \\\\\sec(C) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}\\\\\sec(C) = \frac{ac}{bc}$

                                   $\sin(A) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\\\\\sin(A) = \frac{bc}{ac}$

                                   $\sin(C) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\\\\\sin(C) = \frac{ab}{ac}$

• Paso 2: Comparación de las funciones:

Partiendo del dato:

                                   $\sin (A)\sin(C) = \frac{1}{2}$

Invertimos ambos miembros de la ecuación:

                                   $\frac{1}{\sin(A)\sin(C)} = 2\\\\\frac{1}{\sin(A)} \frac{1}{\sin(C)} = 2$

Sustituyendo los valores de sen(A) y sen(C) en función de los lados del triángulo:

                                    $\frac{1}{(\frac{bc}{ac} )} \frac{1}{(\frac{ab}{ac} )} =2\\\\\frac{ac}{bc} \frac{ac}{ab} =2$

La expresión anterior es igual al producto de las secantes:

                                   $\frac{ac}{bc} \frac{ac}{ab} =2\\\\\sec(C)\sec(A) = 2$

Multiplicando ambos miembros por dos:

                                   $2\sec(C)\sec(A) = 2\cdot 2\\\\2\sec(C)\sec(A) = 4$

Finalmente elevando ambos miembros al cuadrado se llega a la expresión deseada:

                                 $[2\sec(C)\sec(A)]^2 = 4^2 =16$