Question

En un triángulo ABC, recto en B, se tiene que sen AsenC =1/2. Calcule (secA secC 2)2.

Answer 1

El valor de la expresión trigonométrica solicitada es 4.

En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios, entonces, si es recto en B es $sen(A)=cos(C), cos(A)=sen(C)$.

Teniendo en cuenta esta identidad podemos modificar el producto entre sen(A) y sen(C):

$sen(A).sen(C)=\frac{1}{2}\\\\sen(A).cos(A)=\frac{1}{2}\\\\cos(A)\sqrt{1-cos^2(A)}=\frac{1}{2}\\\\\sqrt{cos^2(A)-cos^4(A)}=\frac{1}{2}\\\\cos^2(A)-cos^4(A)=\frac{1}{4}$

Haciendo un cambio de variable queda:

$u=cos^2(A)=>u-u^2=\frac{1}{4}\\\\4u-4u^2=1\\\\4u^2-4u+1=0\\\\u=\frac{4\ñ\sqrt{(-4)^2-4.4.1}}{2.4}=\frac{4\ñ\sqrt{16-16}}{8}\\\\u=\frac{1}{2}\\\\cos(A)=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Entonces, el coseno del ángulo C, al ser complementario con A es:

$cos(C)=sen(A)=\sqrt{1-cos^2(A)}=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Y la ecuación trigonométrica solicitada es:

$(sec(A).sec(C))^2=(\frac{1}{cos(A)}.\frac{1}{cos(C)})^2\\\\(sec(A).sec(C))^2=(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}.\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}})^2\\\\(sec(A).sec(C))^2=(\sqrt{2}.\sqrt{2})^2=4$