Question

En un triangulo ABC, el angulo B mide 64 y el angulo C mide 72. La bisectriz interior CD corta a la altura BH y a la bisectriz BM en P y Q respectivamente, Hallar la diferencia entre el mayor y menor angulo del triangulo PBQ.

Answer 1

Respuesta:

$98^{\circ}$

Explicación paso a paso:

En triángulo rectángulo $\triangle HCP$ tenemos $\angle HCP=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$ de donde por suma de ángulos internos $\angle CPH$ es complementario $\angle HCP$ y así $\angle CPH=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$ y debido a que los ángulos

En el triángulo rectángulo $\triangle BHC$ como $\angle HCB=72^{\circ}$ es complementario a $\angle HBC$ se tiene $\angle PCB \angle HBC=90^{\circ}-72^{\circ}=18^{\circ}$  de donde

$\angle QBP=\angle QBC-\angle PBC=\frac{64^{\circ}}{2}-18^{\circ}=14^{\circ}$

Por último $\angle BQP=180^{\circ}-(\angle QBP+\angle QPB)=180^{\circ}-(14^{\circ}+54^{\circ})=112^{\circ}$

Tenemos en conclusión que el ángulo mayor es $\angle BQP=112^{\circ}$ y el ángulo menor es $\angle QBP=14^{\circ}$ con resta $112^{\circ}-14^{\circ}=98^{\circ}$

Answer 2

Respuesta:

La diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de PBQ es 98°

Explicación paso a paso:

La bisectriz BM parte al ángulo BM en dos ángulos de 32° y define el triángulo CQB. En el cual uno de los ángulos es de 32° y el otro es la mitad del ángulo C ya que el otro lado es la bisectriz CD, o sea 36°, Por el teorema de los ángulos internos hallamos el ángulo α, uno de los ángulos internos de PBQ:

α=180°-32°-36°=112°

Luego nos queda en el triángulo BCM el ángulo γ por el teorema de los ángulos internos.

γ=180°-32°-72°=76°

Ángulo que también pertenece al triángulo rectángulo HBM, por lo que el ángulo ε y el ángulo γ son complementarios:

ε=90°-γ=90°-76°=14°.

ε y α son ángulos internos de PBQ, por lo que el otro ángulo de dicho triángulo es:

Ω=180-ε-α=180-112-14=54°

Por lo que el ángulo mayor es 112° y el menor 14°, siendo la diferencia entre ellos de 98°.