En un triángulo ABC (B = 90º) se traza la altura BH, la bisectriz del ángulo HBC interseca en P a HC. Si AB = 5, hallar el máximo valor entero de BP.
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
El máximo valor entero que puede tomar BP es 9.
Explicación paso a paso:
Si el ángulo B es recto, la altura BH parte al triángulo en dos triángulos semejantes. Donde es:
\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{HC}
BH
AB
=
HC
BC
Y a su vez es
\begin{lgathered}BH=BP.cos(\alpha)\\\\BP=\frac{BH}{cos(\alpha)}=\frac{BH}{cos(\frac{CAB}{2})}\\\\BH=AB.cos(CAB)=>BP=AB\frac{cos(CAB)}{cos(\frac{CAB}{2})}\end{lgathered}
BH=BP.cos(α)
BP=
cos(α)
BH
=
cos(
2
CAB
)
BH
BH=AB.cos(CAB)=>BP=AB
cos(
2
CAB
)
cos(CAB)
Aplicamos en el numerador coseno del doble ángulo:
\begin{lgathered}BP=AB\frac{cos^2(\frac{CAB}{2})-sen^2(\frac{CAB}{2})}{cos(\frac{CAB}{2})}\\\\BP=AB(cos(\frac{CAB}{2})-\frac{sen^2(\frac{CAB}{2})}{cos(\frac{CAB}{2})})\\\\BP=AB(cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1-cos^2(\frac{CAB}{2})}{cos(\frac{CAB}{2})})\\\\BP=AB(2cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})})\end{lgathered}
BP=AB
cos(
2
CAB
)
cos
2
(
2
CAB
)−sen
2
(
2
CAB
)
BP=AB(cos(
2
CAB
)−
cos(
2
CAB
)
sen
2
(
2
CAB
)
)
BP=AB(cos(
2
CAB
)−
cos(
2
CAB
)
1−cos
2
(
2
CAB
)
)
BP=AB(2cos(
2
CAB
)−
cos(
2
CAB
)
1
)
Ahora el valor que puede tomar (2cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})})(2cos(
2
CAB
)−
cos(
2
CAB
)
1
) para que sea AB entero tiene que ser de la progresión 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; El segundo término es siempre mayor que 1 mientras que el primero es menor que 2, con lo cual para que tenga sentido físico tiene que ser
1<\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})}<21<
cos(
2
CAB
)
1
<2
Y el valor del paréntesis será siempre menor que 2. Podemos igualarlo a 1,8:
Tiene solución positiva, es decir con sentido físico, por lo que el paréntesis puede valer 1,8. Y queda BP=9