Question

En un triángulo ABC (B = 90°), se traza la altura BH, la bisectriz del ∠HBC interseca en P a HC. Si: AB=5, hallar
el máximo valor entero de BP.

Answer 1

El máximo valor entero que puede tomar BP es 9.

Explicación paso a paso:

Si el ángulo B es recto, la altura BH parte al triángulo en dos triángulos semejantes. Donde es:

$\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{HC}$

Y a su vez es

$BH=BP.cos(\alpha)\\\\BP=\frac{BH}{cos(\alpha)}=\frac{BH}{cos(\frac{CAB}{2})}\\\\BH=AB.cos(CAB)=>BP=AB\frac{cos(CAB)}{cos(\frac{CAB}{2})}$

Aplicamos en el numerador coseno del doble ángulo:

$BP=AB\frac{cos^2(\frac{CAB}{2})-sen^2(\frac{CAB}{2})}{cos(\frac{CAB}{2})}\\\\BP=AB(cos(\frac{CAB}{2})-\frac{sen^2(\frac{CAB}{2})}{cos(\frac{CAB}{2})})\\\\BP=AB(cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1-cos^2(\frac{CAB}{2})}{cos(\frac{CAB}{2})})\\\\BP=AB(2cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})})$

Ahora el valor que puede tomar $(2cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})})$ para que sea AB entero tiene que ser de la progresión 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; El segundo término es siempre mayor que 1 mientras que el primero es menor que 2, con lo cual para que tenga sentido físico tiene que ser

$1<\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})}<2$

Y el valor del paréntesis será siempre menor que 2. Podemos igualarlo a 1,8:

$(2cos(\frac{CAB}{2})-\frac{1}{cos(\frac{CAB}{2})})=1,8\\\\u=cos(\frac{CAB}{2})=>2u-\frac{1}{u}=1,8\\\\2u^2-1=1,8u\\2u^2-1,8u-1=0\\\\u=\frac{1,8\ñ\sqrt{1,8^2-4.2.(-1)}}{2.2}\\\\u=\frac{1,8\ñ\sqrt{11,24}}{2.2}$

Tiene solución positiva, es decir con sentido físico, por lo que el paréntesis puede valer 1,8. Y queda BP=9