Question

En un trapecio isósceles con tres lados iguales inscribimos el rombo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del trapecio. Si el ángulo agudo del trapecio mide 65º, ¿cuántos grados mide el ángulo agudo, x, del rombo?

Answer 1

Al hablar de un trapecio isósceles, los dos ángulos inferiores serán iguales, mientras que los superiores también lo serán entre ellos.

Por otro lado, el ángulo opuesto a x será igual al ángulo x.

Si trazamos un segmento db (véanse los puntos en la imagen adjunta), podemos ver que los ángulos interiores del cuadrilátero superior van a ser (sabiendo que los ángulos superiores son iguales a (360-130)/2=115):

$115+115+\angle Ddc+\angle cbC + \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} x=360\\Como ~ \angle Ddc=\angle cbC=\alpha \\x+2\alpha =130$

Ahora bien, sabemos que el trapecio tiene sus vértices en los puntos medios del trapecio y que este a su vez tiene 3 lados iguales. En base a esto, podemos decir que el triángulo cCb es un triángulo isósceles, por lo que tiene 2 ángulos iguales (cbC y bcC serán esos ángulos). Por lo tanto, sus valores serán:

$\angle cbC+\angle bcC+115=180\\2\angle cbC=65\\\angle cbC=32,5$

Tenemos que cbC es igual a 32,5º. Pero ya dijimos antes que cbC era el ángulo alfa, Por lo tanto:

$x+2\alpha =130\\x+2(32,5)=130\\x+65=130\\x=65$

Siendo entonces el valor de x igual a 65º.

Saludos.