En un trapecio escaleno las longitudes de la base mayor y del segmento que une los puntos medios de las diagonales se encuentran en relacion de 7 a 2, y la longitud de la base menor es 18. calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales
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Respuesta:
Trapecio (geometría)
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En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene solamente dos lados paralelos.12
TrapezoVortaro.svg
Índice
1 Terminología frecuente
2 Tipos
2.1 Propiedades
2.1.1 Diagonales y lados
2.1.2 Área
2.1.3 Teorema de Euler
2.1.4 Caso isósceles
3 Véase también
4 Referencias
5 Enlaces externos
Terminología frecuente
Elementos relevantes del trapecio, además de los heredados de cuadrado:
Sus lados paralelos se llaman bases del trapecio.
Altura del trapecio es un segmento que une perpendicularmente las dos bases o sus prolongaciones. La altura también es la longitud del segmento del mismo nombre y coincide con la distancia entre las bases. Véase ɑ con un segmento azul en la figura.
Se denomina mediana al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.3 Véase m con un segmento verde en la figura. Se obtiene sumando las dos bases y dividirlas en dos partes iguales.
Tipos
Trapezaro.svg
Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:
Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Véase 1 en la imagen derecha.
Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Véase 2 en la imagen derecha.
Tiene un eje de simetría que pasa por el punto medio de sus bases.
Tiene dos ángulos internos agudos iguales sobre una base y dos ángulos internos obtuso iguales en la otra base.
Tiene sus dos diagonales iguales.
Sus ángulos internos opuestos son suplementarios, es decir, la suma es {\displaystyle 180^{\circ }}{\displaystyle 180^{\circ }} y por tanto es inscribible.
Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo. Véanse en 3 que a ángulo obtusos se opone uno agudo y viceversa, pero véase en 4 que a ángulos obtusos se opone otro obtuso y a ángulo agudo se opone otro agudo.
Sus lados no paralelos tienen longitudes diferentes.
Sus cuatro ángulos internos son diferentes.
Propiedades
Mediana.svg
La longitud de la mediana, m, de un trapecio es igual a la suma de la longitud de sus bases, a y b dividida entre dos:
{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
El segmento que une los puntos medios de sus diagonales, n, tiene una longitud igual a la base mayor menos la menor dividida entre dos:
{\displaystyle n={\frac {b-a}{2}}}{\displaystyle n={\frac {b-a}{2}}}
Si los lados de un trapecio son respectivamente iguales a los de otro trapecio, entonces los trapecios son iguales.
La altura h de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases, a y c, y de los dos lados b y d, mediante la siguiente ecuación:
{\displaystyle h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-\left(d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2(a-c)}}}{\displaystyle h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-\left(d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2(a-c)}}}
En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d.
Diagonales y lados
Teniendo en cuenta que {\displaystyle d_{1},d_{2}}d_1, d_2 son las diagonales, {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} las bases, {\displaystyle c,d}{\displaystyle c,d} los lados no paralelos, n el segmento que conecta los puntos medios de las bases, m la paralela a las bases que pasa por la intersección de diagonales, se cumplen estas fórmulas:
{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab}{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab}
{\displaystyle m={\frac {2ab}{a+b}}d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}{\displaystyle m={\frac {2ab}{a+b}}d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}
{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+d^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2})}}}{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+d^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2})}}}
{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-ab)-(a^{2}+b^{2})}}}{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-ab)-(a^{2}+b^{2})}}}4
Área
El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:
{\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}}{\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}}.
Si solo se conocen las longitudes de los cuatro lados:
{\displaystyle A={\frac {a+c}{4(|a-c|)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}}}{\displaystyle A={\frac {a+c}{4(|a-c|)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}}}
Donde a y c son las bases del trapecio.
Teorema de Euler
El teorema de Euler, en el caso de un trapecio isósceles, se reduce a
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2d^{2}+4m^{2}\,}{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2d^{2}+4m^{2}\,}
siendo a y b las bases, c el lado igual y d la diagonal y m el segmento que une los puntos medios de las diagonales.
Caso isósceles
Siendo a la base mayor; b, la base menor; c=d, los lados no paralelos; γ, ángulo en la base mayor, resulta el área:5