Question

En un torneo de dominó cada jugador juega una vez con cada uno de los jugadores restantes. Si en total se juegan 153 partidas, ¿cuántos jugadores toman parte en el torneo?

Answer 1

En el torneo toman parte 18 jugadores

Procedimiento:

El orden de juego entre cada jugador no influye, es decir da lo mismo que juegue el jugador A contra el B, y el B contra el A porque es la misma partida, pero si cambia el jugador son combinatorias de n elementos (el número de jugadores) tomados de 2 en 2, de manera que

Expresamos

$\boxed {\bold { C_{n,2} = 153}}$

$\boxed {\bold { C_{n,2} = \frac{V_{n,2} }{P_{2} } = 153 }}$

$\boxed {\bold { \frac{n\ (n-1) }{2 } = 153 }}$

$\boxed {\bold { n\ (n-1) = 153 \ . \ 2 }}$

$\boxed {\bold { n\ (n-1) = 306 }}$

$\boxed {\bold { n^{2} -\ n = 306 }}$

$\boxed {\bold { n^{2} -\ n - \ 306 = 0 }}$

Tenemos una ecuación de segundo grado

Donde a = 1, b = -1 y c = -306

$\boxed {\bold { n^{2} -\ n - \ 306 = 0 }}$

Emplearemos la fórmula cuadrática para resolver para n y hallar el número de jugadores del torneo

$\boxed {\bold { \frac{ - b \pm \sqrt{ b^{2} -4(ac) } }{2a} }}$

Reemplazamos los valores de a, b y c en la fórmula para resolver para n

$\boxed {\bold {n= \frac{ 1 \pm \sqrt{ (-1)^{2} -4 \ . \ ( 1 -306 ) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed {\bold {n= \frac{ 1 \pm \sqrt{ 1 -4 \ . \ -306 } }{2 } }}$

$\boxed {\bold {n= \frac{ 1 \pm \sqrt{ 1 + 1224 } }{2 } }}$

$\boxed {\bold {n= \frac{ 1 \pm \sqrt{ 1225 } }{2 } }}$

$\boxed {\bold {n= \frac{ 1 \pm \sqrt{ 35^{2} } }{2 } }}$

$\boxed {\bold {n= \frac{ 1 \pm 35 }{2 } }}$

$\boxed {\bold {n_{1} = 18 }}$

$\boxed {\bold {n_{2} = -17 }}$  

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones

$\boxed {\bold {n = 18, -17 }}$

La solución con el resultado negativo no es válida, ya que no puede existir un número de jugadores negativo

Concluyendo que el número de jugadores que participan en el torneo es de 18