Question

En un teatro los ojos de un observador se ubican a la misma altura de la bases de la pantalla. Si el observador mira a la parte superior de la pantalla con un ángulo de elevación de 38° y la altura de la pantalla es de 3.5 m ¿a qué distancia se encuentra el observador de la pantalla ?
Hola me pueden ayudar a resolver y su proceso

Answer 1

El observador se encuentra aproximadamente a una distancia de 4.48 metros de la pantalla

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la pantalla del teatro, el lado AC (b) que representa la distancia desde los ojos del observador hasta la parte inferior de la pantalla y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del espectador hasta la parte superior de la pantalla, a la cual mira con un ángulo de elevación de 38°

Donde se pide hallar:

A que distancia se encuentra el observador de la pantalla

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura de la pantalla y de un ángulo de elevación de 38°

• Altura de la pantalla = 3.5 metros

• Ángulo de elevación = 38°

• Debemos hallar a que distancia se encuentra el observador de la pantalla

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como conocemos el valor del cateto opuesto (lado BC = altura de la pantalla), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 38° y debemos hallar a que distancia se encuentra el observador de la pantalla, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(38^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(38^o) = \frac{altura \ de\ la \ pantalla }{ distancia \ observador \ a\ la \ pantalla } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ observador \ a\ la \ pantalla = \frac{ altura \ de\ la \ pantalla }{ tan(38^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ observador \ a\ la \ pantalla = \frac{3.5 \ metros }{ tan(38^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ observador \ a\ la \ pantalla = \frac{ 3.5 \ metros }{ 0.7812856265067} }}$

$\boxed { \bold { distancia \ observador \ a\ la \ pantalla \approx 4.479795 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia \ observador \ a\ la \ pantalla \approx 4.48 \ metros}}$

El observador se encuentra aproximadamente a una distancia de 4.48 metros de la pantalla