En un tablero cuadrado de 2019×2019, hay una enfermedad
contagiosa. Cada día, algunas de las casillas del tablero están enfermas y el resto están sanas. Una casilla sana que es adyacente a una casilla enferma, se enferma al día siguiente. Una casilla enferma siempre estará sana al día siguiente. Una casilla sana que ha estado enferma antes, puede enfermarse nuevamente (si es contagiada por una de las casillas adyacentes). En el día 1, solo la casilla central está enferma.
Si A = número de casillas enfermas en el día 100 y B = número de casillas enfermas en el día 99, calcula A – B.
Aclaración: Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
segun yo sale 199, vino en la olimpiada juegos y problemas de otoño 2021
Explicación paso a paso:
a mi me sale 199, pero dice que la rpta es 257 :(
mi solución:
notamos que una casilla(que no está en la fila o columna 1, o 2019) tiene 4 casillas vecina, esta condición la cumple la casilla central, entonces el segundo dia hay 4 casillas enfermas, y en un gráfico podemos ver que el tercer dia hay 9 casillas enfermas, ahora probaremos por inducción que en el día n hay n^2 casillas enfermas:
caso base n=1, el dia 1 hay 1^2=1 casillas enfermas ( si cumple )
Hipótesis inductiva:
supongamos que esto es valido hasta un n=k, ahora probaremos que también se cumple para n=k+1, es decir que el dia (k+1) hay (k+1)^2 casillas enfermas
Paso Inductivo:
como en el dia k hay k casillas por lado enfermas(por así decirlo), cada una de esas aumentará en 1 a su izquierda, es decir se incrementará uno por lado, y habra (k+1)(k+1)=(k+1)^2
y la inducción sería completa
entonces podemos decir que el dia 100 hay 100^2 casillas enfermas, y el dia 99 hay 99^2 casillas enfermas.
entonces A=100^2
B=99^2
piden A - B = 100^2 - 99^2
por diferencia de cuadrados tendríamos A - B = (100+99)(100-99)=199