Question

En un sistema de coordenadas la aceleración de una particula es a(t)= 7 - 4 t². En esta expresión se da el tiempo en segundos, se obtiene la aceleración en m/s². En el instante inicial la partícula esta en reposo en el punto de coordenadas x=54m. a) ¿Porque se mueve la partícula? b) ¿Vuelve a llegar al reposó la partícula? c) ¿En qué instante? d ) obtenga la posición y la velocidad de la partícula en el instante 5 segundos

Answer 1

$\displaystyle v(t)=\int a(t)\,dt \\[2pt] v(t)=\int (7-4t^2)dt=7t-\frac{4}{3}t^3+C_1 \\[2pt] \text{De las condiciones iniciales , la part\'icula est\'a en reposo , en el }\\ \text{instante inicial en }x=54 , \text{ entonces } v(0)=0 \ , \ x(0)=54 \\[2pt] \Rightarrow \ v(0)=(7)(0)-\frac{4}{3}(0)^3+C_1=0 \ \Rightarrow \ C_1=0 \\[2pt] \Rightarrow \ v(t)=7t-\frac{4}{3}t^3$

$\displaystyle \text{Ahora se calcula la posici\'on.} \\[2pt] x(t)=\int v(t)\,dt \\[2pt] x(t)=\int \left( 7t-\frac{4}{3}t^3 \right)dt=\frac{7}{2}t^2-\frac{1}{3}t^4+C_2 \\[2pt] x(0)=54 \ \Rightarrow \ \frac{7}{2}(0)^2-\frac{1}{3}(0)^4+C_2 =54 \ \Rightarrow \ C_2=54 \\[2pt] \Rightarrow \ x(t)=\frac{7}{2}t^2-\frac{1}{3}t^4+54$

$\displaystyle \textbf{b,c)} \ \ v=0 \ \Rightarrow \ 7t-\frac{4}{3}t^3=0 \ \Rightarrow \ t\left(7-\frac{4}{3}t^2\right)=0 \\[2pt] \Rightarrow \ t=0 \ \vee \ \left(7-\frac{4}{3}t^2=0 \ \Rightarrow \ t=\frac{\sqrt{21}}{2} \approx 2.29 \ s \right) \\[2pt] \text{entonces para }t=2.29 \ s \ \text{su velocidad es cero nuevamente y se } \\ \text{encuentra en un reposo transitorio.}$

$\displaystyle \textbf{d)} \text{ Teniendo las expresiones para la velocidad y posici\'on , cuesti\'on }\\ \text{de reemplazarpara }t=5 \\[4pt] \bullet \ v(t)=7t-\frac{4}{3}t^3 \\[2pt] \Rightarrow \ v(5)=(7)(5)-\frac{4}{3}(5)^3=-131.667 \ m/s \\[4pt] \bullet \ x(t)=\frac{7}{2}t^2-\frac{1}{3}t^4+54 \\[2pt] \Rightarrow \ x(5)=\frac{7}{2}(5)^2-\frac{1}{3}(5)^4+54=-66.833 \ m$