En un polinomio P(x,y), homogéneo y completo en "x" e "y", la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 420. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
el grado de Homogenidad es 20
Explicación paso a paso:
Un polinomio homogéneo es aquel en el que todos los monomios tienen el mismo grado.
Este es un ejemplo de polinomio homogéneo de grado 4 (el grado de todos los monomios es 4):
x^4 + 3x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 + 8y^4.
Como ves, la suma de los exponentes de las variables x, y en cada monomio es 4. Y el número de términos es 5, es decir es el grado de homogeneidad más 1.
Con relación a la suma de los grados absolutos de todos los monomíos o términos sera: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4*5 = 20.
En general, puedes decir que la suma de los grados absolutos en un polinomio homogéneo será el grado de cada monomío por el número de términos = grado * (grado + 1)
Llamando n, al grado de nuestro polinomio, se tiene que cumplir:
n (n + 1) = 420
=> n^2 + n = 420
=> n^2 + n - 420 = 0
Factorizando:
(n + 21) (n - 20) = 0
=> n = -21 y n = 20.
Solo tiene sentido el valor positivo, por tanto n = 20.
Es decir el polinomio es de la forma (excluyendo los coeficientes)::
x^20 + x^19 y + x^18 y^2 + x^17 y^3 + .... x^3 y^17 + x^2y ^18 + x y^19 + y^20
Ese polinomio tiene 21 términos.
Por lo que la suma de los grados será 20 * 21 = 420, tal como se requirió en el enunciado.
Respuesta: el grado de homogeneidad es 20.