Question

en un polígono equiángulo ,la relación entre las medidas de un angulo interno y otro externo es como 5 a 1 ¿cuantas diagonales medias posee dicho polígono ?

Answer 1

A ver si soy capaz de explicártelo.

Primero tienes que conocer algunas leyes de este tema y la primera que nos interesa es la que dice que la suma del ángulo interno más el ángulo externo de cualquier polígono nos da el ángulo llano, es decir: 180º.

Sabiendo eso y con una simple proporción podemos averiguar cuánto miden esos ángulos en este polígono que por cierto sabemos que es regular porque nos dice que es "equiángulo", es decir, que todos sus ángulos internos son iguales.

Con eso claro, llamo "x" al ángulo externo y "180-x" al interno ya que entre los dos:
x +180 -x = 180º tal y como había dicho antes. Planteo la proporción:

5 es a 1 como "180-x" es a "x" ... que en forma de ecuación es:
5/1 = (180-x)/x ----> 5x = 180 -x ----> 6x = 180 ----> x = 30º es el ángulo externo, por tanto, el interno vale: 180-30 = 150º

Ahora debes saber también que está demostrado que LA SUMA DE TODOS LOS ÁNGULOS EXTERNOS de un polígono siempre es la circunferencia completa, es decir: 360º.

Como el polígono es equiángulo, divido: 360 / 30 = 12 ángulos = 12 lados.
Así pues, estamos ante un dodecágono regular.

Saber las diagonales ya se hace sencillo usando la fórmula que la relaciona con los lados:

nº de diagonales = n·(n-3)/2 = 12·(12-3)/2 = 54 diagonales.

Saludos.