Question

En un parque tenemos cuatro árboles cuyas sombras miden, a las cinco de la tarde, 12 m, 8 m, 6m y 4 m, respectivamente. El árbol más pequeño tiene una altura de 2,5 m. ¿Cuánto miden los demás árboles?

Answer 1

En una escala de mayor a menor el árbol más grande mide 7,5 metros, el que le sigue en tamaño mide 7 metros, y el tercero tiene una altura de 3,75 metros

Procedimiento:

Para la resolución de este ejercicio se empleará el teorema de Tales

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales,

Uno de ellos explica básicamente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existente

Dos triángulos semejantes tienen ángulos congruentes, por lo tanto sus lados respectivos son proporcionales

                                                 

El teorema de Tales enuncia  

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Como se observa en la figura se forman dos triángulos que son semejantes y por tanto proporcionales

Vamos a trabajar con el árbol más pequeño y el más grande primero

Por el teorema de Tales

Expresamos      

$\boxed { \bold { \frac{x}{12 \ m } = \frac{2,5 \ m }{4\ m} } }$

$\boxed { \bold { x= \frac{12 \ m \ . \ 2,5 \ m }{4\ m} } }$

$\boxed { \bold { x= \frac{30 \ m }{4\ m} } }$

$\boxed { \bold { x= 7,5 \ metros } }$

El árbol más grande tiene una altura de 7,5 metros

Para los otros dos árboles intermedios, que se ubican en tamaño entre el mayor y el más pequeño

Vamos a calcular una razón de proporción "y" con la altura y la sombra del árbol de mayor tamaño. El cual será un porcentaje

Planteamos

$\boxed {\bold { y = \frac{ 7,5 \ m }{12 \ m } = 0,675}}$

$\boxed {\bold { y = 0,675}}$

Hallando la altura del segundo árbol

Multiplicando la sombra del árbol por "y" obtendremos la altura del árbol

$\boxed {\bold { Segundo \ \'Arbol = 0,675 \ . \ 8 \ metros }}$

$\boxed {\bold { Segundo \ \'Arbol = 7 \ metros }}$

El segundo árbol tiene una altura de 7 metros

Hallando la altura del tercer árbol  

Multiplicando la sombra del árbol por "y" obtendremos la altura del árbol

$\boxed {\bold { Tercer \ \'Arbol = 0,675 \ . \ 6 \ metros }}$

$\boxed {\bold { Tercer \ \'Arbol = 3,75 \ metros }}$

El tercer árbol tiene una altura de 3,75 metros

Answer 2

En una escala de mayor a menor el árbol más grande mide 7,5 metros, el que le sigue en tamaño mide 5 metros, y el tercero tiene una altura de 3,75 metros

Criterio de semejanza : Nose