Question

En un parque rectangular de 210 m de largo y 150 m de ancho, se quieren colocar postes de luz en todo su perímetro. La distancia entre los postes debe ser la misma y la mayor posible. ¿ Que se saca el MCM o DCM ?

Answer 1

La distancia igual y máxima a la que deben colocarse los postes de luz es de 30 metros uno del otro.

Si se desea colocar postes de luz en todo el perímetro del parque rectangular serán necesarios 20 postes de luz

Procedimiento:

• Tenemos una parque rectangular de 210 metros de largo por 150 metros de ancho.

• Se desea colocar postes de luz en todo su perímetro de manera que la distancia entre los postes de luz sea la misma y la mayor posible.

Hallaremos el máximo común divisor entre el largo y el ancho del parque rectangular para conocer la distancia igual y máxima entre poste y poste, tanto en ancho como en el largo

Entonces buscamos máximo común divisor entre 210 y 150

Descomponiendo los números en sus factores primos

$210\ | \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 150\ | \ 2$

$105\ | \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 75\ | \ 3$

$\ \ 35 \ \ | \ 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 25\ | \ 5$

$\ \ \ \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ | \ 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5\ | \ 5$

$\ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ |$

$\ \ \ \ \ \ 210 = 2 \ . \ 3 \ . \ 5\ . \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 150 = 2 \ . \ 3\ . \ 5^{2}$

Para obtener el MCD se toman los factores primos comunes elevados al menor exponente

$\boxed {\bold { M\'aximo \ Com\'un \ Divisor (150,210) = 2 \ . \ 3 \ . \ 5}}$

$\boxed {\bold { M\'aximo \ Com\'un \ Divisor (150,210) = 30}}$

$\boxed {\bold { MCD\ (150,210) = 30}}$

Lo que significa a que encontramos cual será la igual y máxima distancia entre poste y poste que es igual a 30 metros

Vamos a calcular cuantos postes de luz se deben colocar en el parque rectangular en todo su perímetro

• Para ello tenemos que dividir las dimensiones del parque por el máximo común divisor.

• Y de este modo hallaremos el número total de postes de luz a colocar, pero teniendo en cuenta que en las esquinas del parque se ubican 4 postes de luz que son los mismos para cada lado de la figura rectangular ya que ocupan el mismo vértice.

En el lado largo del parque caben

$\boxed {\bold { 210\ metros \div 30 = 7 \ postes \ de \ luz }}$

En el lado ancho del parque caben

$\boxed {\bold { 150\ metros \div 30 = 5 \ postes \ de \ luz }}$

Como el parque es rectangular tiene 2 largos y 2 anchos

• Entonces a la cantidad de postes de luz que encontramos en el paso anterior los tenemos que multiplicar por dos, tanto para el largo como para el ancho.

Luego,

Para el lado largo del parque

$\boxed {\bold { 7 \ postes \ de \ luz \ . \ 2 = 14 \ postes \ de \ luz }}$

Para el lado ancho del parque

$\boxed {\bold { 5 \ postes \ de \ luz \ . \ 2 = 10 \ postes \ de \ luz }}$

Eso nos da un total de 24 postes de luz

Pero como mencionamos anteriormente los 4 postes de luz de cada esquina del parque se "comparten" porque se ubican en el mismo vértice de la figura que hace al parque rectangular

• Por lo tanto a la cantidad de 24 postes de luz que hallamos que caben en los 2 largos y en los 2 anchos, debemos restarle 4 postes de luz

Siendo

$\boxed {\bold { 24 \ postes \ de \ luz - 4 \ postes \ de \ luz = 20 \ postes \ de \ luz }}$