Question

En un numero de tres cifras el dígito de las centenas supera en uno al de las decenas, y la suma de los digitos es 19. Si los dígitos de las unidades y las centenas se intercambian, el numero aumenta en 198. Halle el numero original.

Answer 1

hacemos una tabla  de unidades decenas y centenas

C  I    D    I   U

X I   Y     I  Z

X=cifra (o dígito de las centenas)

y=cifra (o dígito de las decenas)

z=cifra (o dígito de las unidades)

numero original=  100x+10y+z

"el dígito de las centenas supera en uno al de las decenas"

x=y+1

" la suma de los digitos es 19"

x+y+z=19

"Si los dígitos de las unidades y las centenas se intercambian, el numero aumenta en 198"

C  I    D    I   U

Z   I    Y   I  X

el nuevo numero =  100z+10y+x

100z+10y+x=(100x+10y+z)+198

planteamos el sistema de ecuaciones

$\begin{cases}&x=y+1\\&x+y+z=19\\&100z+10y+x=(100x+10y+z)+198\end{cases}$

resolvemos la ecuación 3

100z+10y+x=(100x+10y+z)+198

100z+10y+x=100x+10y+z+198

100z+x=100x+z+198

100z-z=100x-x+198

99z=99x+198

z=x+2 ⇒ecuación 4

despejamos en "y" la ecuación 1

x=y+1

y=x-1 ⇒ecuación 5

remplazamos la ecuación 4 y 5 en la ecuación 2

x+y+z=19

x+x-1+x+2=19

2x-1+x+2=19

3x+1=19

3x=19-1

3x=18

x=18/3

x=6  

remplazamos el valor de "x" en la ecuación 5

y=x-1

y=6-1

y=5

remplazamos los valores de "x" y "y" en la ecuación 2

x+y+z=19

6+5+z=19

11+z=19

z=19-11

z=8

respuesta:

Halle el numero original:

el numero original es:

100x+10y+z

100(6)+10(5)+8

600+50+8

658 ⇒respuesta

Answer 2

El número original del enunciado es igual a 658

Presentación del sistema de ecuaciones

Si a, b y c son los dígitos de el número donde a son las centenas, b las decenas y c las unidades,  tenemos que se cumple:

1. a = b + 1
2. a + b + c = 19
3. 100a + 10b + c = 100c + 10b + a - 198

Solución del sistema de ecuaciones

Despejando de la tercera ecuación:

99a - 99c = - 198

99c - 99a = 198

c - a = 198/99

c - a = 2

4. c = 2 + a

De la ecuación 1:

5. b = a - 1

Sustituimos la ecuación 4 y 5 en la ecuación 2:

a + a - 1 + 2 + a = 19

3a + 1 = 19

3a = 19 - 1

3a = 18

a = 18/3

a = 6

Sustituimos en las ecuaciones 4 y 5:

c = 6 + 2 = 8

b = 6 - 1 = 5

El número original es 658

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