Question

En un lote baldío de 30 por 60 metros, un mecánico requiere colocar labarda de un terreno rectangular de 200 metros cuadrados de área que utilizará como taller. Dejará sin barda la mitad del lado que da al ponienteporque será utilizado como entrada. Halla las dimensiones del terreno rectangular cuya suma de longitud de barda sea la mínima.​

Answer 1

Para que la cantidad de barda sea mínima, el terreno rectangular tiene que tener dimensiones de 12,25 metros por 16,33 metros.

Explicación:

Si se va a alambrar un terreno rectangular dejando la mitad de uno de los lados sin barda, la longitud que se va a usar es:

$P=2a+\frac{b}{2}+b=2a+\frac{3}{2}b$

Mientras que el área del terreno que se va a cercar es:

$A=a.b$

Se puede despejar 'b' de esta expresión para poner todo en función de una sola variable en la del perímetro:

$b=\frac{A}{a}\\\\P=2a+\frac{3}{2}\frac{A}{a}\\\\P=2a+\frac{3A}{2a}$

Para hallar la dimensión 'a' tal que la cantidad de barda sea mínima, tenemos que derivar e igualar a cero esta expresión:

$P'=2-\frac{3}{2}\frac{A}{a^2}=0\\\\\frac{3}{2}\frac{A}{a^2}=2\\\\a=\sqrt{\frac{3}{4}A}=\sqrt{\frac{3}{4}.200m^2}=12,25m$

La otra dimensión del terreno es:

$b=\frac{A}{a}=\frac{200m^2}{12,25m}=16,33m$