Question

En un experimento hay una bacteria y está se multiplica cada segundo,en el segundo dos hay cuatro bacterias,al segundo 3 hay 8 bacterias al segundo 4 hay 16 bacterias En que segundo habrá la mitad de las bacterias que hay en el segundo 50? a qué regla de los expontes pertenece?​

Answer 1

La población de bacterias sigue una ley de variación de tipo exponencial, y al segundo 49 la población de bacterias será la mitad de la población en el segundo 50.

Explicación paso a paso:

Si la población de bacterias se multiplica a cada segundo, esta sigue una progresión geométrica donde tengo, para cada segundo n:

$p_n=r.p_{n-1}$

Y respecto a la cantidad inicial de bacterias tengo:

$p_n=r^n.p_{0}$

Lo que se condice con la forma de una función exponencial, en efecto, si en el segundo 2 hay cuatro bacterias tengo:

$p(2)=4=p(0)a^2$

Y para el segundo 3:

$p(3)=p(0)a^3=8$

De donde deducimos que para un tiempo t, la población es:

$p(t)=2^{t}$

Ahora si queremos hallar el tiempo para el cual la población es la mitad que en el segundo 50, tenemos:

$p(t)=\frac{p(50)}{2}=\frac{2^{50}}{2}\\\\2^{t}=\frac{2^{50}}{2}\\\\2.2^t=2^{50}\\2^{1+t}=2^{50}$

Aplicando logaritmo en base 2 a ambos miembros tengo:

t+1=50

t=49.