Question

En un estudio sobre la aprobación de tres asignaturas A, B y C realizado a los estudiantes de cierta carrera arrojó los siguientes resultados:
• 140 aprobaron Álgebra.
• 125 aprobaron Física.
• 155 aprobaron Cálculo.
• 270 aprobaron al menos una asignatura.
• 150 no aprobaron Álgebra.
• 45 aprobaron sólo Física.
• 50 aprobaron sólo Álgebra.
• 55 aprobaron sólo cálculo.
• 90 aprobaron sólo dos asignaturas.
Utilizando un diagrama de Venn - Euler responda:

a) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron ninguna asignatura?
b) ¿Cuántos estudiantes aprobaron las tres asignaturas?
c) ¿Cuántos estudiantes aprobaron Álgebra o Física pero no Cálculo?

Answer 1

Del total de estudiantes tenemos que los que no aprueban ninguna asignatura son: 20 estudiantes y los que aprueban las tres son 30

Sean los conjuntos:

A: aprobaron Algebra

B: aprobaron Física

C: aprobaron Cálculo

Tenemos que:

1. |A| = 140

2. |B| = 125

3. |C| = 155

4. |AUBUC| = 270

|A'| = 150

5. |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 45

6. |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| = 50

7. |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 55

Solo Algebra y física: |A∩B| - |A∩B∩C|

Solo Algebra y cálculo: |A∩C| - |A∩B∩C|

Solo física y cálculo: |B∩C| - |A∩B∩C|

Solo dos: 8. |A∩B| + |A∩C| + |B∩C|  - 3|A∩B∩C| = 90

No aprueban ninguna: el total de estudiantes es los que aprueban álgebra más los que no aprueban:

Total = |A| + |A'| = 140 + 150 = 290

Los que no aprueban ninguna, es el total menos los que aprueban al menos una:

total - |AUBUC| = 290 - 270 = 20

Las tres asignaturas esta dado por |A∩B∩C|

Sumamos las ecuaciones 5, 6 y 7:

|B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C|  + |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|  +  |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 45 + 50 + 55

9. |A| + |B| + |C| - 2*|A∩B| - 2*|B∩C| - 2|A∩C|  + 3* |A∩B∩C| = 150

Multiplicamos 8 por 2:

10.  2|A∩B| + 2|A∩C| + 2|B∩C|  - 6|A∩B∩C| = 180

Sumamos 9 y 10:

|A| + |B| + |C| - 3|A∩B∩C| = 330

140 + 125 + 155  = 330 +  3|A∩B∩C|

3|A∩B∩C| = 420 - 330

3|A∩B∩C| = 90

|A∩B∩C| = 90/3

|A∩B∩C| = 30