Question

En un estudio biológico se encontró que el tamaño de un insecto se puede determinar mediante la ecuación L= k? (1 - e ^ -0.02t)
donde :
L: longitud en centímetro
K: constante
t: tiempo de vida en días
Si un insecto en 10 dias mide 0,2 cm ¿ cuántos día tendrá otro insecto de 0.4

Answer 1

Primero debemos saber cual es el valor de la constante K en la ecuacion

$L=k*(1- e^{-0.02t})$

Para ello tenemos los sgtes datos
L = 0.2
t = 10

Reemplazamos

$0.2=k*(1-e^{-0.02(10)}) \\ 0.2 = k*(1-e^{-0.2}) \\ \\ Para \ que \ no \ quede \ exponete \ negativo \ invertimos \ el \ numero \\ \\ 0.2 = k *(1- \frac{1}{e^{0.2}}) \\0.2 = k - \frac{1}{e^{0.2}}k \\ \\k - \frac{1}{e^{0.2}}k=0.2 \\ \\ sacamos \ minimo \ comun \ multiplo \\ \\ \frac{e^{0.2}k-k}{e^{0.2}} = 0.2 \\\\ lo \ que \ esta \ dividiendo\ pasa\ a\ multiplicar \\\\ e^{0.2}k-k=0.2e^{0.2} \\\\ factor\ comun \\\\ k(e^{0.2}-1)=0.2e^{0.2} \\\\ k = \frac{0.2e^{0.2}}{e^{0.2}-1}$

ahora debemos resolver lo que queda para eso el valor de e = 2.72 
cuando tenemos numeros decimales como potencia debemos pasarlo a fraccion para que de esa manera podamos sacar raiz en este caso 0.2 seria 1/5

por lo que nos queda 

$2.72^ \frac{1}{5} \\\\ que\ es \ lo \ mismo \ a \\ \\ \sqrt[5]{2.72}$

y la raiz quinta de 2.72 es 1.22

entonces ya tenemos que $e^{0.2}=1.22$

ahora reemplazamos para hallar el valor de k

$k= \frac{0.2e^{0.2}}{e^{0.2}-1} \\ \\ k = \frac{0.2(1.22)}{1.22-1} \\ \\ k= \frac{0.244}{0.22} \\\\k=1.10$

Ahora que sabemos el valor de k podemos proceder a calcular la cantidad de dias del insecto de 0.4cm

L=0.4
t = ?
k = 1.10

Como ya habia dicho invertimos el numero de potencia negativa para que me quede uno de potencia positiva. Entonces:
$[tex]L = K *(1- \frac{1}{e^{0.02t}} ) \\ \\ 0.4=1.10*(1- \frac{1}{e^{0.02t}})  \\\\ 1.10*(1- \frac{1}{e^{0.02t}}) = 0.4 \\\\1.10- \frac{1.10}{e^{0.02t}}=0.4 \\\\mcm \\\\\frac{1.10e^{0.02t}-1.10}{e^{0.02t}} =0.4 \\\\1.10e^{0.02t}-1.10=0.4e^{0.02t}$

multiplicamos toda la operacion por 10 para trabajar con numeros enteros:
$(10) \ \ 1.10e^{0.02t}-1.10=0.4(e^{0.02t}) \\\\ 11e^{0.02t}-11=4e^{0.02t} \\\\11e^{0.02t}-4e^{0.02t}=11 \\\\ 7e^{0.02t} =11 \\\\ e^{0.02t}= \frac{11}{7}$

Ahora podemos aplicar logaritmo natural (In) en ambas partes para hallar el valor de t

$In(e^{0.02t})=In( \frac{11}{7} ) \\\\In(2.72^{0.02t})=In(1.58) \\\\Aplicando \ la \ propiedad: \\\\ log_a x^b=b\ log_ax \\\\0.02t\ In(2.72)=In(1.58) \\\\t= \frac{In(1.58)}{0.02\ In(2.72)} \\\\ t= 22.6$

Listo la respuesta (redondeada) es 22.6 
Saludos