Question

En un entrenamiento de futbol se coloca el balon en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la porterıa, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo que angulo se ve la porteria desdeese punto?

Answer 1

La portería se ve desde ese punto bajo un ángulo de 60°

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados opuestos a estos ángulos respectivamente,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\ . \ b \ .\ c\ .cos \ (\alpha) } }$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2\ . \ a \ .\ c\ .cos \ (\beta) } }$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2\ . \ a \ .\ b\ .cos \ (\gamma) } }$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Resolución del problema:

• Nos dicen que se coloca un balón en un punto situado a 5 y 8 metros respectivamente de cada uno de los postes de la portería cuya medida es de 7 metros

 

Esto se puede representar en un imaginario triángulo en donde

• El lado AC (lado a) representa a la portería de 7 metros de ancho

• El lado AB (lado b) equivale a la distancia desde uno de los postes de la portería hasta el balón. La distancia es de 8 metros, dónde el vértice A del triángulo representa un poste y el vértice B es el punto donde se colocó el balón.

• El lado BC (lado c) equivale a la distancia desde el otro poste de la portería hasta el balón. La distancia es de 5 metros, dónde el vértice C del triángulo representa el poste y el vértice B es el punto donde se ubicó el balón.

Nos piden hallar bajo que ángulo se ve la portería -lado AC - desde el punto dónde se ha colocado el balón -vértice B -

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2\ . \ AB \ .\ BC\ .cos \ (\alpha) } }$

ó

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\ . \ b \ .\ c\ .cos \ (\alpha) } }$

Reemplazamos valores,

$\boxed {\bold { 7^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2\ . \ 8 \ .\ 5\ .cos \ (\alpha) } }$

$\boxed {\bold { 49 = 64 + 25 - 80\ .cos \ (\alpha) } }$

$\boxed {\bold { 49 = 89 - 80\ .cos \ (\alpha) } }$

$\boxed {\bold { 49 - 89 = - 80\ .cos \ (\alpha) } }$

$\boxed {\bold { -40 = - 80\ .cos \ (\alpha) } }$

$\boxed {\bold {cos \ (\alpha) =\frac{ 40}{ 80} } }$

$\boxed {\bold {cos \ (\alpha) =\frac{ 1}{ 2} } }$

$\boxed {\bold {cos \ (\alpha) = 0,5 } }$

$\boxed {\bold {arccos = 0,5 } }$

$\boxed {\bold {\alpha = 60 \° } }$

Answer 2

El ángulo desde donde se ve la portería en el punto C es:

60º

¿Qué es un triángulo y como se relacionan sus lados y ángulos?

Es un polígono que se caracteriza por tener 3 lados y 3 vértices.

Un triángulo no rectángulo, sus lados y ángulos se relacionan por:

La ley del coseno establece que el cuadrado de un lado del triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados por el doble del producto de los lados, por el coseno del ángulo opuesto.

• a² = b² + c² - 2 • b • c • Cos(A)
• b² = a² + c² - 2 • a • c • Cos(B)
• c² = a² + b² - 2 • a • b • Cos(C)

¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto?

Aplicar ley del coseno, para determinar el ángulo C;

Siendo;

• c = 7 m
• a = 5 m
• b = 8 m

sustituir;

(7)² = (5)² + (8)² - 2(5)(8)Cos(C)

49 = 25 + 64 - 80 Cos(C)

49 = 89 - 80 Cos(C)

Despejar C, aplicando inversa;

80 Cos(C) = 89- 49

Cos(C) = 40/80

C = Cos⁻¹(1/2)

C = 60º

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