Question

En un diagrama, en cada fila Horizontal hay una casilla mas que en la anterior. En las casillas se escriben los numeros desde el 1, consecutivamente, como se ve. si se continua este procedimiento. ¿ En que fila se escribe el numero 256?
1
2 3
4 5 6

Answer 1

El número 256 se escribe en la fila 23

Nos damos cuenta que la fila 1 tiene un numero la fila 2 tiene dos números, la fila 3 tres números y así sucesivamente. Los números son consecutivos.  

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

Si completo 5 filas es porque he escrito 15 números:

1 en la primera +

2 en la segunda +

3 en la tercera +

4 en la cuarta +

5 en la quinta  

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15    

Esa suma la puedo hallar directamente con la fórmula de la suma de los n primeros  términos  n(n+1)/2

Para n = 5

n(n+1)/2 = 5*6/2 = 15

Donde 15 es el último número de la fila 5

Busquemos en que fila tendríamos el número 256 como último número

n(n+1)/2 = 256

n(n+1) = 256 * 2

n(n+1) = 512

n^2 + n = 512

n^2 + n – 512 = 0

Se resuelve la ecuación cuadrática y obtenemos dos resultados:

n1= 22,13 y n2= -23,13

Descartamos el negativo y nos quedamos con el 22,13 que significa que la fila que va a contener el 256 es la 22,13 ; como las filas son números enteros veamos cual es el último número de la fila 22, hacemos n=22  

n(n+1)/2 = 22*23/2 = 253

Es decir el último número de la fila 22 es el 253, esa fila tiene 22 números, la fila siguiente tendrá 23 números y el tercer número es el 256

254, 255, 256, 257 ….

Por lo tanto el número 256 se escribe en la fila 23