En un depósito de forma de un cono recto invertido entra a razón de 8 m³/s. cierto líquido. El radio y la altura del depósito son 21 m у 35 m respectivamente. Calcule la tasa de crecimiento de la altura cuando ésta toma un valor de h = 6 m
Respuestas a la pregunta
tenemos un problema muy interesante esta es una copa de cristal en forma de cono invertido cuya altura es de 4 centímetros y cuyo diámetro en la parte superior es también de 4 centímetros estoy vertiendo agua a razón de un centímetro cúbico por segundo un centímetro cúbico por segundo y el agua en este momento se encuentra a una altura de 2 centímetros la altura que hay desde el fondo de la copa hasta este punto esta altura es de 2 centímetros y la pregunta es bueno sabemos que el volumen al cual se está advirtiendo el agua es un centímetro cúbico por segundo y en el momento en que la altura del agua es de 2 centímetros y se está vertiendo el agua a un centímetro cúbico por segundo queremos saber cuando la altura del agua es de 2 centímetros queremos saber a qué razón está cambiando la altura del agua a qué razón está cambiando la altura del agua a qué razón esta altura está cambiando sabemos que está a dos centímetros pero queremos saber a qué razón está cambiando bien analicemos el problema nos han dado la razón a la cual el volumen del agua está cambiando pongámoslo por acá nos han dado la razón a la cual el volumen está cambiando con respecto al tiempo y la razón a la cual está cambiando este volumen es un centímetro cúbico por segundo y que nos están preguntando nos están preguntando la razón a la cual esta altura h cambia en el momento en que la altura del agua es de dos centímetros anotemos esto por acá nos están preguntando la razón a la que cambia la altura h con respecto al tiempo de h en de t si contestamos esto habremos resuelto el problema para esto necesitamos encontrar una relación que sea válida para todo tiempo entre el volumen y la altura la cual vamos a derivar probablemente usando la regla de la cadena para a partir de ahí obtener una relación entre la razón a la que cambia el volumen y la razón a la que cambia la altura hagamos esto paso a paso primero obtengamos unas relaciones del volumen y la altura bueno de hecho es algo que ya nos dieron acá la fórmula que nos dan aquí la tenemos es que el volumen del cono es igual a un tercio del área de la base del cono por la altura del cono no la vamos a demostrar aquí quizás en un curso de cálculo integral donde veamos sólidos de revolución lo haremos por lo pronto vamos a tomar como válido que esta es la manera de calcular el volumen del cono bien dado esto podemos obtener una expresión que nos relacione el volumen con la altura del cuerpo del agua aquí vamos a ponerlo a poner en azul vamos a ponerlo en azul porque estamos calculando el volumen del cuerpo del agua así es que el volumen va a ser igual un tercio del área de la superficie del agua un tercio de área superficie de agua por la altura del agua por h como calculamos el área la superficie del agua bien nos damos cuenta de que aquí en la parte superior de la copa el diámetro es de 4 centímetros y la altura también es de 4 centímetros y esta relación entre diámetro y altura se va a conservar aquí en el cuerpo cónico de agua aquí vamos a tener la misma relación entre diámetro y altura pues estas de aquí son dos líneas rectas así que en cualquier momento dado la relación entre esto y esto se va a preservar por lo que el diámetro aquí en la superficie del agua va a ser igual a la altura h a partir de esto podemos calcular que el radio es igual a h sobre 2 por lo que aquí el área de la superficie del agua va a ser igual a pi por radio al cuadrado h sobre 2 al cuadrado eso es el área la superficie de agua por supuesto esto multiplicado por un tercio y multiplicado también por h vamos a simplificar esta expresión esto es igual a montes yo por ti por h al cuadrado sobre 4 por h y esto que es igual bien en el numerador tenemos y por h cúbica todo eso dividido entre 12 así que esto es el volumen ahora lo que necesitamos calcular es qué tan rápido cambia el volumen con respecto al tiempo y qué tan rápido cambia la altura con respecto al tiempo y dado que nos interesa el cambio de ambas con respecto al tiempo pues vamos a tomar la derivada con respecto al tiempo a ambos lados de esta expresión hagamos eso necesito primero mover esto un poco a la derecha ligeramente a la derecha ahí lo tenemos y ahora sí voy a tomar la derivada con respecto al tiempo a ambos lados entonces del lado izquierdo que tenemos la derivada con respecto al tiempo del volumen b y del lado derecho de la ayuda con respecto al tiempo de esta expresión del lado izquierdo la deriva con respecto al tiempo del volumen b es simplemente deben de t debe en de t lo cual es igual a la derivada con respecto al t de esta expresión sacamos las constantes y sobre 12 que multiplica que multiplica a la derivada con respecto a t de h h al cubo para que quede claro lo que vamos a hacer vamos a suponer que h depende del tiempo de hecho efectivamente