Question

En un departamento de estudios universitarios hay 10 hombres y 15 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede formar una comisión de 6 miembros si debe haber más mujeres que hombres?

Answer 1

Combinatoria.  Modelo de combinaciones sin repetición.

La condición a cumplir es que siempre en el grupo de los 6 miembros debe haber más hombres que mujeres.

Teniendo eso en cuenta, podremos formar grupos que consten de:

• a)  4 mujeres y 2 hombres
• b)  5 mujeres y 1 hombre

Para el modo a) hemos de tomar a las 15 mujeres (m) y combinarlas en grupos de 4 (n) y por otro lado tomaremos a los 10 hombres y los combinaremos en grupos de 2, ok? Después multiplicaré los dos resultados para obtener el total de grupos que pueden formarse tomando 4 mujeres y 2 hombres.

La fórmula por factoriales dice:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!}$

Para las mujeres:  $C_{15}^4=\dfrac{15!}{4!*(15-4)!} =\dfrac{15*14*13*12*11!}{4*3*2*1*11!} =1365$

Para los hombres:  $C_{10}^2=\dfrac{10!}{2!*(10-2)!} =\dfrac{10*9*8!}{2*1*8!} =45$

Efectuamos el producto ya que por cada modo de combinar a las mujeres corresponderán todos los modos de combinar a los hombres.

1365 × 45 = 61.425 maneras de formar grupos donde haya 4 mujeres y 2 hombres.

Para el modo b) combinaré a las 15 mujeres de 5 en 5 y el resultado lo multiplicaré por los 10 hombres. Así obtendré el segundo resultado parcial y solo quedará sumarlo al anterior.

$C_{15}^5=\dfrac{15!}{5!*(15-5)!} =\dfrac{15*14*13*12*11*10!}{5*4*3*2*1*10!} =273$

Multiplico este resultado por los 10 hombres para que se formen los grupos de 5 mujeres y 1 hombre.

273 × 10 = 2.730 maneras de formar esos grupos.

Sumamos los dos resultados:  61425 + 2730 = 64.155 maneras.

Saludos.