Question

En un cuadrado de lado de 8cm, se corta en cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de modo que se forme un octógono. ¿Qué mediad debe tener cada cateto del triángulo recortado para que el octógono sea regular? Realiza una figura de análisis.
CON PRODECIDIMIENTO Y DIBUJO PLS

Answer 1

Respuesta:

$a = 8-4\sqrt{2}$

Explicación paso a paso:

Dejo adjunta una foto con el dibujo y la solución pero lo resolveré de una mas ordenada aquí:

Con la figura adjunta podemos deducir que L(lado del cuadrado) = l+2a, donde a son los catetos de los triángulos rectángulos resultantes al dibujar el octógono regular y  l el lado del octógono regular( ocho lados iguales).

1:L = l +2a

2: l = L-2a

Por otro lado podemos sacar una relación con la anterior fórmula aplicando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos de las esquinas, donde l , además de ser el lado del octógono es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

Sabiendo que el triangulo tiene dos catetos iguales (a) y otro lado que es la hipotenusa y  a su vez lado del octógono(l), deducimos la siguiente fórmula:

3:

$l^{2} = a^{2} + a^{2} \\l^{2} = 2a^{2} \\l = \sqrt{2a^{2} } \\l = a\sqrt{2} \\a= \frac{l}{\sqrt{2} }$

Al hacer racionalización del radical:

3.a:

$a = \frac{l}{\sqrt{2} } * \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } \\\\Inciso:\\\sqrt{2} * \sqrt{2} } = 2\\\\a = \frac{\sqrt{2}} {2} * l$

$2a=\sqrt{2} * l$

Despejamos en la fórmula 2 y obtenemos que :

4:

$l = L - l\sqrt{2}$

$l +l\sqrt{2} = L\\\\FactorComun:\\l (1+\sqrt{2} ) = L\\l = \frac{L}{\sqrt{2}+1 }$

Aquí podríamos racionalizar también:

5:

$l = \frac{L}{\sqrt{2}+1 } *\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = L * (\sqrt{2} -1)$

-Para racionalizar eso hay que multiplicar y dividir por su conjugado

Sabiendo que L = 8 cm, obtenemos l, despejando de la formula 4:

$l = \frac{8}{\sqrt{2}+1 }$

$l =$ $-8+8\sqrt{2}$  cm

Al despejar de la fórmula 3 obtenemos la medida que debe tener cada cateto del triángulo:

$a = \frac{-8+8\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$

$a = 8-4\sqrt{2}$ cm

Espero que os resulte de ayuda :)