en un conjunto de 30 personas, 16 estudiaron en la universidad a, 11 en la universidad b y 16 en la universidad c, si solo 2 personas estudiaron en las universidades A,By C. ¿cuantos estudiaron exactamente en una de estas universidades,considerando que todas las personas estudiaron al menos en una de dichas universidades?
Respuestas a la pregunta
19 personas estudiaron en exactamente una universidad.
Notación: al cardinal o tamaño de un conjunto A se le denota como |A|
En probabilidad y teoria de conjunto, si tenemos tres conjuntos A,B,C se cumple:
|A U B U B| = |A|+|B|+|C| - |A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
Sea A el conjunto de los que estudiaron en la universidad a
Sea B el conjunto de los que estudiaron en la universidad b
Sea C el conjunto de los que estudiaron en la universidad c
Como datos tenemos:
|A U B U B| = 30
|A|= 16
|B| = 11
|C|= 16
|A∩B∩C| = 2
Por lo tanto:
30= 16+11+16 - |A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+2
30= 45 - |A∩B|-|B∩C|-|C∩A|
|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|= 15 (***)
Ahora los que estudiaron solo en la universidad A, sera los que estudiaron en la universidad A menos lo que estudiaron en la B y en la C que estudiaron en la A, a esto debemos sumarle los que estudiaron en las tres pues se lo restamos dos veces. De manera semenjante para B y C:
Solo A: |A|-|A∩B|-|C∩A|+|A∩B∩C| = 16-|A∩B|-|C∩A|+2 = 18-|A∩B|-|C∩A|
Solo B: |B|-|A∩B|-|C∩B|+|A∩B∩C| = 11-|A∩B|-|C∩B|+2 = 13-|A∩B|-|C∩B|
Solo C: |C|-|A∩C|-|C∩B|+|A∩B∩C| = 16-|A∩C|-|C∩B|+2 = 18-|A∩C|-|C∩B|
Sumo las tres cantidades para saber cuantas estudiaron en una sola universidad. Una sola U:
18-|A∩B|-|C∩A|+13-|A∩B|-|C∩B|+18-|A∩C|-|C∩B|
= 49-2|A∩B|-2|B∩C|-2-|C∩A| = 49-2(|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|)
Sustituimos el resultado de (***)
49-2(|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|) = 49-2*15 = 49-30 = 19
Por lo tanto 19 personas estudiaron en exactamente una universidad.