Question

EN UN CIRCUITO SERIE RLC, CON R=5 OHM, L=0.1 H Y C=500 MICROFARADIOS, SE APLICA UNA TENSIÓN DE 10 V EN EL INSTANTE t=0. HALLAR LA INTENSIDAD DE LA CORRIENTE QUE CIRCULA EN EL CIRCUITO.

Answer 1

La corriente en el circuito RLC a partir del instante 0 es $I=0,714A.e^{-25t}.sen(139s^{-1}t)$

¿Cómo hallar la corriente en el circuito?

Si el circuito RLC es serie, podemos aplicar la segunda ley de Kirchoff sumando las tres tensiones del circuito en función de la corriente que circula, que será la misma para los tres elementos:

$E=i.R+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int\limits^{}_{} {i} \, dt$

Para resolver esta ecuación diferencial podemos pasar a la transformada de Laplace, siendo E un escalón de tensión:

$\frac{E}{S}=I.R+S\times L\times I+\frac{I}{SC}\\\\\frac{E}{S}=I(R+SL+\frac{1}{SC})\\\\\frac{E}{S}=I(\frac{SCR+S^2LC+1}{SC})\\\\E=I\frac{S^2LC+SCR+1}{C}$

El coeficiente cuadrático de la expresión tiene que ser 1, por lo que sacamos factor común de LC:

$E=I\times L\times C\frac{S^2+S\frac{R}{L}+\frac{1}{LC}}{C}\\\\E=I.L(S^2+S\frac{R}{L}+\frac{1}{LC})\\\\I=\frac{E}{L(S^2+S\frac{R}{L}+\frac{1}{LC})}$

Factorizando la ecuación cuadrática con la fórmula de Baskara queda:

$S=\frac{-\frac{R}{L}\ñ\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-4.1.\frac{1}{LC}}}{2.1}\\\\S=\frac{-\frac{5\Omega}{0,1H}\ñ\sqrt{\frac{(5\Omega)^2}{(0,1H)^2}-4.1.\frac{1}{0,1H.5\times 10^{-4}F}}}{2}\\\\S=\frac{-50\ñ\sqrt{2500-80000}}{2}\\\\S=-25\ñ\j139$

Si ahora pasamos la ecuación a dominio temporal queda:

$I=\frac{E}{L(S+25+j139)(S+25-j139)}\\\\i(t)=\frac{E}{L}\frac{1}{-25+j139-(-25-j139)}(e^{(-25+j139)t}-e^{(-25-j139)t})\\\\i(t)=\frac{E}{L}\frac{1}{j280}(e^{-25t}(e^{j139t}-e^{-j139t}))\\\\i(t)=\frac{E}{L}\frac{1}{j280}(e^{-25t}.2j.sen(139s^{-1}t)))\\\\i(t)=\frac{10V}{0,1H}\frac{1}{280}(e^{-25t}.2.sen(139s^{-1}t)))\\\\i(t)=0,714A.e^{-25t}.sen(139s^{-1}.t)$

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