Question

En un circuito eléctrico, si dos resistencias R1 y R2 están conectadas en paralelo, entonces la resistencia total RT se determina con la fórmula: 1/Rt = 1 /R1 + 1 /R2 . Dadas tres resistencias A, B y C, y sabiendo que la resistencia total de A y B conectadas en paralelo es de 48 ohms, la de B y C es de 80 ohms y la de A y C es de 60 ohms, encuentre A, B y C. las ecuaciones no son lineales, pero con el cambio de variable adecuado de convierten en ecuaciones lineales.

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Answer 1

Las resistencias del circuito bajo estudio son de 480/11 ohmios, -480 ohmios y de 480/7 ohmios para A, B y C respectivamente.

Explicación paso a paso:

Si dos resistencias están conectadas en paralelo la, resistencia total entre ambas es:

$R_T=\frac{1}{R1}+\frac{1}{R_2}$

Debido a que en paralelo, la conductancia total es la suma de las conductancias parciales (siendo la conductancia la inversa de la resistencia.). Si planteamos las ecuaciones en función de las resistencias, estas serán no lineales, pero podemos plantearla en función de las conductancias:

$R_{AB}=48\Omega=>G_{AB}=1/48\\R_{BC}=80\Omega=>G_{BC}=1/80\\R_{AC}=60\Omega=>G_{AC}=1/60\\\\G_{AB}=G_A+G_B\\G_{BC}=G_B+G_C\\G_{AC}=G_A+G_C$

Ahora no queda más que resolver el sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, podemos utilizar cualquier método como por ejemplo la método de Gauss. Comencemos planteando la matriz ampliada:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1/48\\0&1&1&1/80\\1&0&1&1/60\end{array}\right]$

Hay que convertir en identidad la matriz reducida, podemos sumar a la tercera fila la segunda:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1/48\\0&1&1&1/80\\1&1&2&7/240\end{array}\right]$

Luego restarle la primera y dividirla por 2:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1/48\\0&1&1&1/80\\0&0&2&7/240\end{array}\right]\\\\A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1/48\\0&1&1&1/80\\0&0&1&7/480\end{array}\right]$

Ahora a la segunda fila le restamos la tercera:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1/48\\0&1&0&-1/480\\0&0&1&7/480\end{array}\right]$

Ahora a la primera fila le restamos la segunda:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&11/480\\0&1&0&-1/480\\0&0&1&7/480\end{array}\right]$

Con lo que el sistema quedó resuelto así:

$G_A=11/480S=>R_A=480/11\Omega\\G_B=-1/480=>R_B=-480\Omega\\G_C=7/480=>R_C=480/7\Omega$

Nótese que este circuito no es físicamente posible, al menos con resistores pasivos, al ser RB de valor negativo.