Question

En un circuito eléctrico es necesario garantizar que la corriente sea continua en todo momento. La corriente del circuito está dada por la siguiente función:
f(x)={x^2+ax+5 si ≤-1
3 si-1 bx si x >2
Calcule los valores de a y b que hacen que la corriente sea continua.

Answer 1

Vamos a pasar en limpio la función tensión:

$f(x)=\left \{ {{x^2+ax+5, x\leq-1 } \atop {3, 1<x\leq2 }}\atop {bx, x >2}}  \right.$

Como todas las ramas son polinómicas están definidas para todos los reales, los únicos puntos de posible discontinuidad son en los cambios de rama y estos son en X=-1 y x=2. Empecemos por x=-1, aquí deben existir lo dos límites laterales y ser iguales y además estar definida la función en ese punto y ser igual al límite:

$f(-1)=\lim_{n \to -1^{-}} f(x) = \lim_{n \to -1^{+}} f(x)\\ \lim_{n \to -1} x^2+ax+5 = \lim_{n \to -1} 3\\ \lim_{n \to -1} x^2+ax+5=3\\(-1)^2+(-1)a+5=3\\1+5-a=3\\a=3$

El mismo procedimiento en el otro cambio de rama:

$f(2)= \lim_{n \to 2^{-}} f(x) = \lim_{n \to 2^{-}} f(x)\\3=\lim_{n \to 2} 3=\lim_{n \to 2} bx\\3=2b\\b=\frac{3}{2}$

Resumiendo queda:

$a=3; b=\frac{3}{2}$