Question

. En un censo efectuado sobre una población de langostas sin superposición de generaciones, se encontraron 200 adultos por hectárea, al regresar al año siguiente, el censo dio como resultado 400 adultos por hectárea. ¿Puede estimar una tasa de crecimiento poblacional? ¿Cómo? ¿Cuántos individuos espera encontrar al cabo de 5 años si la tasa de crecimiento poblacional se mantiene constante? ¿En qué año espera encontrar 5000 individuos por hectárea?

Answer 1

Se puede estimar una tasa de crecimiento poblacional a partir de los valores dados de la población en los primeros dos años y construir un modelo geométrico de comportamiento de la población.

Explicación paso a paso:

a) ¿Puede estimar una tasa de crecimiento poblacional? ¿Cómo?

Si se puede estimar una tasa decrecimiento poblacional a partir de los valores dados de la población en los primeros dos años:

En el año cero, se tiene una población base de 200 langostas y en el año 1 subió a 400 langostas. Esta relación la podemos expresar como:

N(1)  =  r*N(0)        ⇒        r  =  N(1)/N(0)

donde

N(t)  =  tamaño de la población en el año t

r  =  tasa de crecimiento poblacional

En la población de langostas,     N(0)  =  200      ⇒        N(1)  =  400

r  =  (400)/(200)  =  2

La tasa de crecimiento poblacional es 2, lo que significa que año a año la población aumenta el equivalente al doble de la población en el año anterior.

b) ¿Cuántos individuos espera encontrar al cabo de 5 años si la tasa de crecimiento poblacional se mantiene constante?

Inicio:  N(0)  =  200 langostas

Año 1:  N(1)  =  r*N(0)  =  400 langostas

Año 2:  N(2)  =  r*N(1)  =  r*[r*N(0)]  =  r2*N(0)  =  (2)2*(200)  =  800

De aquí podemos observar que el tamaño de la población es una progresión geométrica, y se conoce modelo geométrico:

N(t)  =  rt*N(0)

Entonces, para  t  =  5  años

N(5)  =  (2)5*(200)  =  6400  langostas

Si la tasa de crecimiento se mantiene constante, la población de langostas será de 6400 al cabo de 5 años.

c) ¿En qué año espera encontrar 5000 individuos por hectárea?

La incógnita es el tiempo

$5000=2^{t}*(200)\quad\Rightarrow\quad\frac{5000}{200}=2^{t}\quad\Rightarrow\quad25=2^{t}\quad\Rightarrow$

$\log_{2}(25)=\log_{2}(2^{t})\quad\Rightarrow\quad \log_{2}(25)=t\quad\Rightarrow\quad \bold{t \approx4,64~a\tilde{n}os}$    

Aproximadamente a los 4,64 años se tendrá una población de 5000 langostas por hectárea.