Question

en un ap la suma del 4° término y el 8° término es 51 y la suma del 6° y el 10° término es 80 escribe el ap
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Answer 1

$\large\underline{\sf{Soluci \acute{o}n-}}$

Supongamos que X Primer término de un AP = a Diferencia común de un AP = d

LO SABEMOS:

Enésimo término de una aritmética la progresión es.

$\begin{gathered}\begin{gathered}\bigstar\:\:{\underline{{\boxed{\bf{{a_n\:=\:a\:+\:(n\:-\:1)\:d}}}}}} \\ \end{gathered}\end{gathered}$

DONDE:

An es el enésimo término.

A es el primer término de la progresión.

N es el número de términos

D es la diferencia común.

Condición :-1

En un AP, la suma del cuarto término y el octavo término es 51.

$\begin{gathered}\sf \: a_4 + a_8 = 51 \\ \\ \end{gathered}$

$\orange{ \bold{\begin{gathered}\sf \: a + (4 - 1)d + a + (8 - 1)d = 51 \\ \\ \end{gathered}}}$

$\red{ \bf{\begin{gathered}\sf \: 2a + 3d + 7d = 51 \\ \\ \end{gathered} }}$

$\pink{ \bf{\begin{gathered}\sf \: 2a + 10d = 51 \\ \\ \end{gathered} }}$

$\blue{ \bf{\begin{gathered}\bf\implies \:\sf \: 2a = 51 - 10d - - - - (1)\\ \\ \end{gathered} }}$

$\underline{ \underline{ \underline{ \bf{Condición :-2}}}}$

En un AP, la suma del sexto y décimo término es 80.

$\green{ \bf{\begin{gathered}\sf \: a_6 + a_{10} = 80 \\ \\ \end{gathered} }}$

$\begin{gathered}\sf \: a + (6 - 1)d + a + (10 - 1)d = 80 \\ \\ \end{gathered}$

$\purple{ \bf{\begin{gathered}\sf \: 2a + 5d + 9d = 80 \\ \\ \end{gathered} }}$

$\red{ \bf{\begin{gathered}\sf \: 2a + 14d = 80 \\ \\ \end{gathered} }}$

Al sustituir el valor de 2a de la ecuación (1), obtenemos:

$\pink{ \bf{\begin{gathered}\sf \: 51 - 10d+ 14d = 80 \\ \\ \end{gathered}}}$

$\purple{ \bf{ \underline{\begin{gathered}\sf \: 4d = 80 - 51 \\ \\ \end{gathered} }}}$

$\green{ \bf{\begin{gathered}\sf \: 4d = 29 \\ \\ \end{gathered} }}$

$\purple{ \bf\begin{gathered}\bf\implies \:d \: = \: \dfrac{29}{4} \\ \\ \end{gathered}}$

Al sustituir el valor de d en la ecuación (1), obtenemos

$\begin{gathered}\bf\implies \:\sf \: 2a = 51 - 10 \times \dfrac{29}{4} \\ \\ \end{gathered}$

$\red{ \bf\begin{gathered}\bf\implies \:\sf \: 2a = 51 - \dfrac{145}{2} \\ \\ \end{gathered} }$

$\purple{ \bf\begin{gathered}\bf\implies \:\sf \: 2a = \dfrac{102 - 145}{2} \\ \\ \end{gathered} }$

$\red{ \bf\begin{gathered}\bf\implies \:\: a \: = - \: \dfrac{43}{4} \\ \\ \end{gathered}}$

Por lo tanto, la serie AP requerida es

$\orange{ \bf\begin{gathered} \bf \: \: - \: \dfrac{43}{4} , \: - \: \dfrac{14}{4} , \: \dfrac{15}{4} , \: \dfrac{44}{4} \\ \\ \end{gathered} }$

$\rule{190pt}{2pt}$

${{ \mathfrak{Adicional\:Informacion}}}$

↝ La suma de n términos de una progresión aritmética es,

$\green{ \bf\begin{gathered}\begin{gathered}\bigstar\:\:{\underline{{\boxed{\bf{{S_n\:=\dfrac{n}{2} \bigg(2 \:a\:+\:(n\:-\:1)\:d \bigg)}}}}}} \\ \end{gathered}\end{gathered} }$

Donde:

Sₙ es la suma de n términos de AP.

a es el primer término de la progresión.

n es el número de términos

d es la diferencia común.