En triángulo ABC, las medianas AD y CE miden 18 y 27, respectivamente, y el lado AB mide 24. Se extiende el segmento CE hasta que interseque nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo ABC en el punto F. Hallar el área elevada al cuadrado del triángulo AFB
Respuestas a la pregunta
Respuesta.
Para resolver este problema se aplican las siguientes ecuaciones:
mAD = √[2(AC² + AB²) - BC²] / 2
mCE = √[2(BC² + AB²) - AC²] / 2
Datos:
mAD = 18
mCE = 27
AB = 24
Sustituyendo se tiene que:
18 = √[2(AC² + 24²) - BC²] / 2
27 = √[2(BC² + 24²) - AC²] / 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
AC = 26.2
BC = 35
Los ángulos del triángulo ABC son:
AB² = BC² + AC² - 2*BC*AC*Cos(ω)
AC² = BC² + AB² - 2*BC*AB*Cos(β)
BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*Cos(α)
Sustituyendo:
24² = 35² + 26.2² - 2*35*26.2*Cos(ω)
26.2² = 35² + 24² - 2*35*24*Cos(β)
35² = 24² + 26.2² - 2*24*26.2*Cos(α)
Despejando:
α = 88.3°
β = 48.44°
ω = 43.26°
Ahora se calcula el área del triángulo ABF, ya que su altura es:
h = mAB/3 = 27/3 = 9
Se aplica la siguiente ecuación:
A = b*h/2
A² = b²*h²/4
Datos:
b = AB = 24
h = 9
Sustituyendo:
A² = 24²*9²/4
A² = 11664