Question

¿En qué puntos de la curva xy=(1 − x − y)^2 la recta tangente es paralela al eje x?

Answer 1

$xy=(1-x-y)^2\cdots\cdots\cdots (1)\\\\\text{Derivada impl\'icita}\\y+xy'=2(1-x-y)(-1-y')\\y+xy'=2x+2y-2+2(x+y-1)y'\\\\y'=-\dfrac{2x+y-2}{x+2y-2}=0\\\\\2x+y-2=0\to y=2-2x\text{ (punto cr\'itico)}\\\\\text{Lo reemplazamos en 1}\\\\x(2-2x)=(1-x-(2-2x))^2\\\\2x(1-x)=(1-x)^2\\(1-x)(3x-1)=0\to x\in\{\frac{1}{3},1\}\\ \\\text{Entonces los puntos de tangencia son: }\\\\P_1=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3}\right)\\\\P_2=(1,0)$