Question

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.
2.

Ejercicio
Estudiante 1 () = (2 − 3)(√ + 2)
3.

Ejercicio
Estudiante 1 √ − 2
() =
22 + 3

Answer 1

Las derivadas de las funciones aplicando las reglas de derivación son:

2. $f'(x)=\frac{3x^{2}+8x\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^{2} }$

3. $f'(x)=\frac{-6x^{2}+16x\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}(2x^{2}+3)^{2}}$

Explicación paso a paso:

Dado,

2. f(x) = (x²-3)/(√x + 2)

Aplicar regla del cociente; $\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^{2} }$

$=\frac{(x^{2}-3)'(\sqrt{x}-2)-(\sqrt{x}-2)'(x^{2}-3)}{(\sqrt{x}-2)^{2} }$

(x²-3)'

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(x²) = 2x

d/dx(3) =  0

(x²-3)' = 2x

(√x + 2)'

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(√x) = 1/2√x

d/dx(2) = 0

(√x + 2)' = 1/2√x

Sustituir;

$=\frac{(2x)(\sqrt{x}-2)-(\frac{1}{2\sqrt{x}})(x^{2}-3)}{(\sqrt{x}-2)^{2} }$

Simplificar;

$=\frac{(2x)(\sqrt{x}-2)-\frac{x^{2}-3}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-2)^{2} }$

$=\frac{\frac{(2x)(\sqrt{x}-2)(2\sqrt{x})-(x^{2}-3)}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-2)^{2} }$

$=\frac{\frac{(\sqrt{x}-2)(4x\sqrt{x})-x^{2}+3}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-2)^{2} }$

$=\frac{4x^{2}+8x\sqrt{x}-x^{2}+3}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^{2} }$

$=\frac{3x^{2}+8x\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^{2} }$

3. f(x) = (√x - 2)/(2x²+3)

Aplicar regla del cociente; $\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^{2} }$

$=\frac{(\sqrt{x}-2)'(2x^{2}+3)-(2x^{2}+3)'(\sqrt{x}-2)}{(2x^{2}+3)^{2} }$

(√x - 2)'

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(√x) = 1/2√x

d/dx(2) = 0

(√x + 2)' = 1/2√x

(2x²+3)'

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(2x²) = 4x

d/dx(3) =  0

(2x²-3)' = 4x

Sustituir;

$=\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})(2x^{2}+3)-(4x)(\sqrt{x}-2)}{(2x^{2}+3)^{2}}$

Simplificar;

$=\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})(2x^{2}+3)-(4x)(\sqrt{x}-2)}{(2x^{2}+3)^{2}}$

$=\frac{(\frac{(2x^{2}+3)}{(2\sqrt{x}})-(4x)(\sqrt{x}-2)}{(2x^{2}+3)^{2}}$

$=\frac{\frac{(2x^{2}+3)-(4x)(\sqrt{x}-2)(2\sqrt{x})}{(2\sqrt{x})}}{(2x^{2}+3)^{2}}$

$=\frac{\frac{(2x^{2}+3)-(\sqrt{x}-2)(8x\sqrt{x})}{(2\sqrt{x})}}{(2x^{2}+3)^{2}}$

$=\frac{\frac{2x^{2}+3-8x^{2}+16x\sqrt{x}}{(2\sqrt{x})}}{(2x^{2}+3)^{2}}$

$=\frac{\frac{-6x^{2}+16x\sqrt{x}+3}{(2\sqrt{x})}}{(2x^{2}+3)^{2}}$

$=\frac{-6x^{2}+16x\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}(2x^{2}+3)^{2}}$