Question

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Answer 1

Las derivadas de las funciones de los ejercicios 2, 3 y 4 son las siguientes:

2. $\frac{d}{dx}\left(\left(2x^2+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\right)=\frac{10x^2-16x\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}}$

3. $\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^2+3}{\sqrt{x}-2}\right)=\frac{6x^2-16x\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)^2}$

4.$\frac{d}{dx}\left(\left(2x^2+3\right)^x\left(3x\right)^{2x}\right)=9^xx^{2x}\left(\ln \left(2x^2+3\right)+\frac{4x^2}{2x^2+3}\right)\left(2x^2+3\right)^x+2\cdot \:9^xx^{2x}\left(\ln \left(3x\right)+1\right)\left(2x^2+3\right)^x$

Solución paso por paso:

2. $\frac{d}{dx}\left(\left(2x^2+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\right)$

Regla del producto: $\left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

$f=2x^2+3,\:g=\sqrt{x}-2$

$=\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2x^2+3\right)$

$\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)=4x$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}-2\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$=4x\left(\sqrt{x}-2\right)+\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(2x^2+3\right)$

$\frac{10x^2-16x\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}}$

3. $\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^2+3}{\sqrt{x}-2}\right)$

Aplicar la regla del cociente: $\left(\frac{f}{g}\right)^'=\frac{f\:'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}$

$=\frac{\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2x^2+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}$

$\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)=4x$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}-2\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$=\frac{4x\left(\sqrt{x}-2\right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(2x^2+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}$

Simplificando

$=\frac{6x^2-16x\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)^2}$

4. $\frac{d}{dx}\left(\left(2x^2+3\right)^x\left(3x\right)^{2x}\right)$

Aplicar la regla del producto:$\left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

$f=\left(2x^2+3\right)^x,\:g=\left(3x\right)^{2x}$

$=\frac{d}{dx}\left(\left(2x^2+3\right)^x\right)\left(3x\right)^{2x}+\frac{d}{dx}\left(\left(3x\right)^{2x}\right)\left(2x^2+3\right)^x$

$\frac{d}{dx}\left(\left(2x^2+3\right)^x\right)=\left(\ln \left(2x^2+3\right)+\frac{4x^2}{2x^2+3}\right)\left(2x^2+3\right)^x$

$\frac{d}{dx}\left(\left(3x\right)^{2x}\right)=2\cdot \:9^xx^{2x}\left(\ln \left(3x\right)+1\right)$

$=\left(\ln \left(2x^2+3\right)+\frac{4x^2}{2x^2+3}\right)\left(2x^2+3\right)^x\left(3x\right)^{2x}+2\cdot \:9^xx^{2x}\left(\ln \left(3x\right)+1\right)\left(2x^2+3\right)^x$

Simplificando

$=9^xx^{2x}\left(\ln \left(2x^2+3\right)+\frac{4x^2}{2x^2+3}\right)\left(2x^2+3\right)^x+2\cdot \:9^xx^{2x}\left(\ln \left(3x\right)+1\right)\left(2x^2+3\right)^x$