Question

en la siguiente operación se suman en orden las fracciones cuyo denominador es la multiplicación de dos enteros consecutivos por ejemplo 6 = 2 por 3, 12 igual 3 por 4 los puntos suspensivos indican que hay que continuar sumando las acciones de este tipo hasta la última mostrada Hallar el resultado de la operación​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Series

$\textbf{Problema :}$

Encuentre de manera intuitiva el siguiente resultado.

$\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} + \ldots + \dfrac{1}{9900} \right) \times 300$

RESOLUCIÓN

La serie presentada es la siguiente

$300 \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \dfrac{1}{n(n+1)}$

Existe un tipo especial de serie llamada serie telescópica el cual nos puede dar inmediatamente el resultado de esta operación, sin embargo usaremos otro método que es intuitivo e ingenioso para llegar al resultado, para comprenderlo solo se necesitan conocimientos básicos de fracciones.

Empecemos partiendo de un caso general, la serie presentada es la siguiente.

$\textrm{E} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)}$

Lo escribiremos de la siguiente manera.

$\textrm{E} = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)}$

Que a su vez se puede escribir de esta otra forma.

$\textrm{E} = \dfrac{2-1}{1 \cdot 2} + \dfrac{3-2}{2 \cdot 3} + \dfrac{4-3}{3 \cdot 4} + \dfrac{5-4}{4 \cdot 5} + \dfrac{6-5}{5 \cdot 6} + \ldots + \dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}$

Realicemos el siguiente movimiento.

$\textrm{E} = \dfrac{2}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{3}{2 \cdot 3} - \dfrac{2}{2 \cdot 3} + \dfrac{4}{3 \cdot 4} - \dfrac{3}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{n+1}{n(n+1)} - \dfrac{n}{n(n+1)}$

Donde se eliminan varios términos de esta forma.

$\textrm{E} = \dfrac{1}{1 \cdot 1} - \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 1} - \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 1} - \dfrac{1}{1 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{n \cdot 1} - \dfrac{1}{1 \cdot (n+1)}$

Se eliminan los términos que se suman y restan quedando de la siguiente manera.

$\textrm{E} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$

Entonces, si queremos el resultado para $n = 99$ solo debemos sustituir.

$\textrm{E} = 1 - \dfrac{1}{99+1} = \dfrac{99}{100}$

Al resultado lo multiplicamos por $300$ para obtener lo deseado.

$300 \textrm{E} = 300 \times \dfrac{99}{100} = 297$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El resultado es}\ 297}$