Question

En la siguiente figura las

semicircunferencias son de radio 2 y

forman un ángulo recto en su intersección,

calcula el área sombreada.
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Answer 1

Empezamos, para demostrar que el área sombreada es 8, encarando el problema tomando para las dos semicircunferencias un sistema de coordenadas cuyo origen es el cuadrado negro abajo a la izquierda. De este modo si queremos hallar las ecuaciones paramétricas de las semicircunferencias, estas son:

$C_1:\left \{ {{x=2+2.cos(t)} \atop {y=2sen(t)}}, 0\leq t\leq\pi   \right. \\\\C_2:\left \{ {{x=2.cos(u)} \atop {y=2+2sen(u)}}, -\frac{\pi }{2} \leq u\leq\frac{\pi }{2}   \right.$

Para hallar el punto de intersección igualo las ecuaciones:

$2+2.cos(t)=2.cos(u)\\2sen(t)=2+2sen(u)\\\\cos(u)-cos(t)=1\\sen(t)-sen(u)=1$

Si las semicircunferencias son perpendiculares en su punto de cruce queda:

$u-t=\frac{\pi }{2}$

Con lo que de esta manera deducimos que el punto de cruce es (2,2)

Para hallar el área por integrales tendríamos que hacer coordenadas polares, de lo contrario quedarían integrales muy complejas. Por eso vamos a hacerlo de forma geométrica. Descomponemos el área horizontal en 2 áreas que se muestran en la imagen adjunta. En ella ya sabemos que el área azul es un cuarto de circunferencia, por tanto:

$A_a=\frac{\pi r^2}{4}$

Ahora tenemos que hallar el área verde de la imagen. Sabemos que con el área sombreada en naranja forman un cuadrado de lado igual al radio, y que esta última es un cuarto de circunferencia igual al azul (porque las dos semicircunferencias son iguales). Queda:

$A_{Ver}=r^2-A_{Nar}=r^2-\frac{\pi .r^2}{4}$

Ahora para hallar el área sombreada horizontal no hay más que sumar el área verde y el área azul:

$A_s=A_a+A_v=\frac{\pi r^2}{4}+r^2-\frac{\pi .r^2}{4}=r^2$

El área sombreada vertical es idéntica al área horizontal, para verlo basta "volcar" la figura hacia la izquierda y luego espejarla para obtener la misma figura. Nos queda:

$A=2A_s=2r^2=2.2^2=8$

Con lo que el valor del área sombreada es igual a 8