Question

En la siguiente figura la curva superior es una semicircunferencia, y la curva inferior es un cuarto de circunferencia con centro en el vértice del triángulo donde está el ángulo recto. ¿Cuál es el área de la figura sombreada, en metros cuadrados, cuyo diámetro del semicírculo es 32 metros? Exprese su respuesta con dos cifras decimales.

Answer 1

Para resolver esta pregunta, al área de la semicircunferencia, que contiene la porción sombreada, incógnita de este problema, se le deberá restar el área del sector circular, que pertenece a un segmento circular que es la 1/4 parte de un círculo con centro en el vértice del triángulo con ángulo de 90°.

Área de la Semicircunferencia

Para calcular el área de la semicircunferencia, de diámetro D = 32 m, y que la identificaremos como A1, se determina a partir del área de la circunferencia y se divide entre 2:
A1=(π. R^2)/2, donde R = Radio de la Circunferencia
R= D/2 = 32/2=16
Entonces A1=(π.(16)^2)/2=128π;
A1=128π

Calculando el área del Segmento Circular

Como se observa en la gráfica y como ya explicamos, si al Sector Circular le restamos el Área del Triángulo, obtendremos el área del Segmento Circular.

Como se menciona en el enunciado, el Sector Circular es 1/4 de un circunferencia, de radio con centro en el vértice del ángulo de  90°. Es decir, que su área es:

Asc: Área del Segmento Circular

Asc = (π.r^2)/4, donde tendremos que calcular el radio r.

El radio r, forma parte de un triángulo rectángulo isósceles, con catetos r y una hipotenusa de 32 m. 

Aplicando el Teorema de Pitágoras, (32)^2 = r^2 + r^2 = 2r^2
de donde se determina que:

r=32/√2 m

Podemos ahora calcular el área del Segmento Circular, Asc:

Asc = π. (32/√2)^2/4=128π

Asc=128π m2

El área del triángulo que forma parte del sector circular es:

At=b.h/2, donde b = h = r, así

At = (32/√2)(32/√2)/2 = 32^2/4 = 256 m2

Cálculo del área del Sector Circular

Como ya se explicó, el área del Sector Circular, que llamaremos Ascc, viene dado por la resta de las áreas del Segmento Circular, Asc, menos el área del Triángulo Isósceles, At. Entonces tenemos:

Ascc = Asc - At,  A2= 128π - 256 = 401,92 - 256 = 145,92

Ascc =145,92 m2

De esta manera ya podemos proceder a calcular el Área Sombreada, As, pues como ya se explicó, ésta vendrá dada por la resta del Área de la Semicircunferencia menos el Área del Segmento Circular, Ascc. De esta manera:

As = A1 - Ascc,   As = 128π - 145,92 = 401,92 - 145,92 = 256,00 m2

Respuesta:  As = 256,00 m2

Espero que haya sido clara esta explicación de la respuesta a tu pregunta.