Question

En la plaza principal de la ciudad se colocó un árbol de navidad el cual es observado por Rafael y Tomás con ángulos de 25° y 30° respectivamente desde dos puntos opuestos, estando los dos jóvenes separados 250 metros. Calcule la distancia entre Rafael y la cúspide del árbol de navidad. Halle la altura del árbol navideño. Haga un dibujo.

Answer 1

La distancia entre Rafael y la cúspide del árbol de navidad es de 152.6 metros

La altura del árbol navideño es de 64.49 metros

Solución

Se representa la situación en un triángulo oblicuángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos jóvenes que observan la cúspide del árbol de navidad. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias desde Rafael y Tomás. hasta el vértice C donde se encuentra la cúspide del árbol de navidad

Se pide hallar:

a) Cuál es la distancia entre Rafael y la cúspide del árbol

b) Cuál es la altura del árbol navideño

a) Distancia entre Rafael y la cúspide del árbol

Podemos determinar la distancia desde donde se ubica Rafael hasta el vértice C donde se encuentra la cúspide del árbol, dado que conocemos la longitud de separación entre los dos jóvenes y los ángulos que esta medida forma en cada extremo donde se hallan Rafael y Tomás con respecto a sus respectivas distancias hasta donde se encuentra la cima del árbol

Teniendo para Rafael ubicado a la izquierda un ángulo de 25°, y para Tomás que se ubica a la derecha un ángulo de 30°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Emplearemos la ley del seno para hallar la distancia entre Rafael y la cúspide del árbol

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 25^o+ 30^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 25^o- 30^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 125^o }}$

Hallamos la distancia entre Rafael y la cúspide del árbol -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(30 ^o ) } = \frac{ 250 \ m }{sen(125^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 250\ m \ . \ sen(30 ^o ) }{sen(125^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 250\ m \ . \ 0.5}{ 0.819152044289} }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 125 }{ 0.819152044289 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 152.6 \ metros }}$

b) Altura del árbol navideño

Dado que la altura del árbol de navidad secciona al triángulo oblicuángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 25° y de 30° respectivamente

Por tanto como hemos determinado empleando la ley del seno la distancia desde Rafael hasta el vértice C - donde se encuentra la cúspide del árbol-  hallamos la hipotenusa del triángulo rectángulo ADC

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto calculamos la altura del árbol de navidad empleando la razón trigonométrica seno

Por tanto conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del árbol navideño

$\boxed { \bold { sen(25^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(25^o) = \frac{altura \ arbol }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= distancia \ b \ . \ sen(25^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol = 152.6\ m \ . \ sen(25^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= 152.6\ m \ . \ 0.422618261741 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ arbol= 64.49\ metros }}$

Aunque el enunciado no lo pida hallamos la distancia entre Tomás y la cima del árbol

Hallamos la distancia entre Tomás y la cúspide del árbol -lado BC (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(25 ^o ) } = \frac{ 250 \ m }{sen(125^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 250\ m \ . \ sen(25 ^o ) }{sen(125^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 250\ m \ . \ 0.422618261741 }{ 0.819152044289} }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 105.65456543525 }{ 0.819152044289 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 128.98 \ metros }}$

Ahora que hallamos la distancia desde Tomás hasta donde se encuentra la cúspide del árbol hallamos la hipotenusa del triángulo rectángulo BDC

Repetimos el procedimiento para determinar la altura que tiene el árbol de navidad empleando la razón trigonométrica seno

Como el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Se arribará al mismo resultado y nos es útil a modo de verificación

$\boxed { \bold { sen(30^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(30^o) = \frac{altura \ arbol }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= distancia \ a \ . \ sen(30^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol = 128.98\ m \ . \ sen(30^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= 128.98\ m \ . \ 0.5 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ arbol= 64.49\ metros }}$

Se agrega el dibujo solicitado