Question

En la ingeniería ambiental (una especialidad de la ingeniería civil), la ecuación siguiente se emplea para calcular el nivel
de oxígeno c (mg/L) en un río aguas abajo de la descarga de un
drenaje:
c = 10 – 20(e–0.15x– e–0.5x)
donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros.
Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxígeno se
encuentra al mínimo. ¿Cuál es la concentración en dicha
ubicación?

Answer 1

La distancia aguas abajo a la cual el nivel de oxígeno se  encuentra al mínimo es:  x = 3.44 Km.

La concentración mínima del nivel de oxígeno es : c = 1.64 mg/L.

La ecuación para calcular el nivel de oxígeno c ( mg/L) es :

  c = 10 – 20(e–0.15x– e–0.5x)

donde :

 x =  distancia aguas abajo en kilómetros =?

 Cmin =?

 

   Se procede a realizar la derivada de c:

   c'=  – 20(-0.15e–0.15x+ 0.5e–0.5x)

   c'=0

     – 20(-0.15e–0.15x+ 0.5e–0.5x) =0

              -0.15e–0.15x+ 0.5e–0.5x =0

                   0.5e-0.5x = 0.15e-0.15x

                         e-0.5x = 0.3e-0.15x

                         e-0.35x= 0.3

    Aplicando logaritmo Ln resulta:

                     Lne-0.35x= Ln0.3

                     - 0.35x*Lne = Ln0.3

                                 x = Ln0.3/-0.35

                                 x = 3.44  Km

  Ahora,  se calcula el valor del nivel de oxigeno minimo:

           c =  10 – 20(e–0.15x– e–0.5x)

            c = 10 - 20(e-0.15*3.44 -e-0.5*3.44)

            c = 1.64 mg/L nivel de oxígeno mínimo