Question

En la frutería, un cliente ha pagado 39 pesos por un kilo de naranja y dos kilos de limones. Otro cliente ha pedido tres kilos de naranja y un kilo de limones y ha pagado 57 pesos.

¿Cuánto cuesta cada producto?.

Answer 1

El precio de un kilo de naranjas es de 15 pesos

El precio de un kilo de limones es de 12 pesos

Solución

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Determinándolas con las dos compras que se han efectuado

Llamamos variable "x" al precio de un kilo de naranjas y variable "y" al precio de un kilo de limones

Donde sabemos que por un kilo de naranjas y dos kilos de limones se pagó un total de 39 pesos

Y conocemos que por tres kilos de naranjas y un kilo de limones a los mismos valores costaron un total de 57 pesos

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para establecer la primera ecuación sumamos 1 kilo de naranjas y 2 kilos de limones y la igualamos al importe pagado por la compra realizada por el primer cliente de $ 39

$\large\boxed {\bold { x \ +\ 2y = 39 }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego para establecer la segunda ecuación sumamos 3 kilos de naranjas y 1 kilo de limones y la igualamos al importe abonado para la compra realizada por el segundo cliente de $ 57

$\large\boxed {\bold {3x \ + \ y =57 }}$    $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego despejamos x en la primera ecuación

$\large\boxed {\bold { x \ +\ 2y = 39 }}$

$\large\boxed {\bold {x =39 -2y }}$           $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {x =39 -2y }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {3x \ + \ y =57 }}$

$\boxed {\bold {3 \ . \ ( 39-\ 2y) + \ y = 57}}$

$\boxed {\bold {117 \ - 6y + \ y = 57}}$

$\boxed {\bold {117 \ - 5y = 57}}$

$\boxed {\bold {- 5y = 57- 117}}$

$\boxed {\bold {- 5y =- 60}}$

$\boxed {\bold { y = \frac{-60}{-5} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 12 }}$

El precio de un kilo de limones es de 12 pesos

Hallamos el precio de un kilo de naranjas

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {x =39 -2y }}$

$\boxed {\bold {x =39 -2 \ . \ 12 }}$

$\boxed {\bold {x =39-24 }}$              

$\large\boxed {\bold {x =15 }}$

El precio de un kilo de naranjas es de 15 pesos

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold { x \ +\ 2y = 39 }}$

$\boxed {\bold {1 \ kg \ naranjas\ . \ \ \ 15 \ +\ 2 \ kg \ limones\ .\ \ \ 12 = \ \ 39 }}$

$\boxed {\bold { \ \ 15 \ + \ \ 24 =\ \ 39 }}$

$\boxed {\bold { \ \ 39 = \ \ 39 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {3x \ + \ y =57 }}$

$\boxed {\bold {3 \ kg \ naranjas\ . \ \ \ 15 \ +\ 1 \ kg \ limones\ .\ \ \ 12 = \ \ 57 }}$

$\boxed {\bold { \ \ 45 \ + \ \ 12 =\ \ 57 }}$

$\boxed {\bold { \ \ 57 = \ \ 57 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$