Question

En la Figura 1 se observa una región sombreada que corresponde al área entre la curva
y = 15 - x2, el eje x, en el intervalo [-6; 6].

1.- Aproximar el área de la región sombreada mediante alguno de los siguientes métodos (elegir solo uno):
a) Sumas de Riemann con 10 rectangulos (n = 10) y puntos muestra los extremos izquierdo de losintervalos.
b) Sumas de Riemann con 10 rectangulos (n = 10) y puntos muestra los extremos derecho de los intervalos.
c) Sumas de Riemann con 10 rectangulos (n = 10) y puntos muestra los puntos medio de los intervalos.

Indica el método seleccionado, presenta ordenadamente los puntos muestra, el
ancho de los intervalos x, describe a detalle el procedimiento para calcular la estimación del área, resalta el resultado final (la aproximación del área).

Paso 2. Posteriormente, calcula el área exacta de la región sombreada, mediante la integral definida (plantea la integral, presenta a detalle el procedimiento y resalta el resultado final).

Paso 3. Compara el área exacta calculada en el Paso 2 con la aproximación que calculaste en el Paso 1. y menciona que tan exacta o inexacta es esa aproximación.

Answer 1

Las sumas de Riemann consisten en dividir el área bajo una curva en un recinto definido, en rectángulos o trapecios de un ancho fijo, siendo la sumatoria de sus áreas una aproximación de la integral de la función en ese recinto. Vamos a tomar la suma de Riemann muestreando los puntos medios de los intervalos en que se divida el intervalo [-6;6].

Paso 1:

Como son diez rectángulos, el intervalo se divide en diez regiones, al ser su amplitud igual a 12, cada rectángulo tendrá un ancho de 1,2 estando el primero en x=-5,4 (punto medio del primer rectángulo).

Para definir la altura de los rectángulos, tenemos que hallar el valor de la función cada 1,2 unidades a partir del punto x=-5,4. La fórmula que vamos a usar para hallar el área queda:

$A=\Sigma_{i=0}^{i=n}\frac{(x_f-x_i)}{n}|f(x_i+\frac{(x_f-x_i)}{2n}+i\frac{(x_f-x_i)}{n})|$

De modo que hay que hallar la función en estos puntos:

$f(x)=15-x^2\\\\f(-5,4)=15-(-5,4)^2=-14,16\\f(-4,2)=15-(-4,2)^2=-2,64\\f(-3)=15-(-3)^2=6\\f(-1,8)=15-(-1,8)^2=11,76\\f(-0,6)=15-(-0,6)^2=14,64\\f(0,6)=15-(0,6)^2=14,64\\f(1,8)=15-(1,8)^2=-11,76\\f(3)=15-(3)^2=6\\f(4,2)=15-(4,2)^2=-2,64\\f(5,4)=15-(5,4)^2=-14,16$

Ahora efectuamos la suma de Riemann

$A=1,2|f(-5,4)|+1,2|f(-4,2)|+1,2|f(-3)|+1,2|f(-1,8)|+1,2|f(-0,6)|+1,2|f(0,6)|+1,2|f(1,8)|+1,2|f(3)|+1,2|f(4,2)|+1,2|f(5,4)|\\\\A=1,2[|f(-5,4)|+|f(-4,2)|+|f(-3)|+|f(-1,8)|+|f(-0,6)|+|f(0,6)|+|f(1,8)|+|f(3)|+|f(4,2)|+|f(5,4)|]\\\\A=1,2(14,16+2,64+6+11,76+14,64+14,64+11,76+6+2,64+14,16)$

Resolviendo la fórmula anterior queda que el área obtenida por la suma de Riemann para n=10 es 118,08.

Paso 2:

La integral definida que da el área bajo la curva es:

$A=\int\limits^6_{-6} {|f(x)|} \, dx$

Como dentro del recinto hay dos ceros hay que desglosar la integral en 3 integrales, tenemos que

$15-x^2=0\\x=\ñ\sqrt{15}$

La expresión del área queda:

$A=\int\limits^{-\sqrt{15}}_{-6} {-f(x)} \, dx+\int\limits^{\sqrt{15}}_{-\sqrt{15}} {f(x)} \, dx+\int\limits^{6}_{\sqrt{15}} {-f(x)} \, dx$

Reemplazando:

$A=\int\limits^{-\sqrt{15}}_{-6} {x^2-15} \, dx+\int\limits^{\sqrt{15}}_{-\sqrt{15}} {15-x^2} \, dx+\int\limits^{6}_{\sqrt{15}} {x^2-15} \, dx\\\\A=[\frac{x^3}{3}-15x]^{-\sqrt{15}}_{-6}+[15x-\frac{x^3}{3}]^{\sqrt{15}}_{-\sqrt{15}}+[\frac{x^3}{3}-15x]^{6}_{\sqrt{15}}$

Ahora si desarrollamos las integrales definidas queda:

$A_1=[\frac{-15\sqrt{15}}{3}-15(-\sqrt{15})-\frac{-216}{3}+15(-6)]=10\sqrt{15}-18\\\\A_2=[15\sqrt{15}-\frac{15\sqrt{15}}{3}+15\sqrt{15}-\frac{15\sqrt{15}}{3}]=20\sqrt{15}\\\\A_3=[\frac{216}{3}-15.6-\frac{15\sqrt{15}}{3}+15\sqrt{15}]=-18+10\sqrt{15}\\\\A=A_1+A_2+A_3=10\sqrt{15}+18+20\sqrt{15}-18+10\sqrt{15}=40\sqrt{15}=\\\\A=3,87.40=154,92$

El área bajo la curva por el método analítico da 154,92, lo que consideramos  como valor exacto.

Paso 3:

Comparando ambos resultados, el área por la suma de Riemann da 118,08 y el área por el método de la integral definida da 154,92, con lo que la aproximación de Riemann dió un valor con un error del 23,8% hacia abajo respecto del valor que consideramos exacto. Una diferencia tan grande puede deberse a que por la forma de la gráfica, los rectángulos de Riemann dejaron afuera de la suma partes considerables del área bajo considerable. Una aproximación más exacta podría ser tomando mayor cantidad de rectángulos, o empleando la suma trapezoidal de Riemann.