Question

En la edad media los castillos medievales se defendían atacando con catapultas a sus enemigos arrojando grandes rocas por arriba de sus muros con una rapidez de lanzamiento de v_0 desde el patio del castillo. Para un ataque realizado desde el frente del castillo, los enemigos se encuentran en un terreno más bajo que la posición de las catapultas, como se muestra en la siguiente figura
a) Obtenga una expresión analítica en términos de las variables suministradas en la gráfica (lado derecho) para la rapidez final v_f con que impactan las rocas en el frente del castillo, mediante el método de conservación de la energía.

b) Si se tiene que v0=14,6 m/s y h=7,30 m ¿cuál es valor numérico de la velocidad final obtenida en el ítem anterior?

Nota: Ignorando la resistencia del aire, observe que la catapulta se encuentra sobre la línea azul horizontal que está a una altura h respecto del nivel del suelo enemigo (línea punteada) como se ilustra en la gráfica. Por lo tanto, se puede tomar el nivel del suelo enemigo como referencia de origen para los cálculos.

Answer 1

• La rapidez final v_f con que impactan las rocas en el frente del castillo $V_f=\sqrt{V_i^{2}+2gh}$
• El valor numérico de la velocidad final obtenida en el ítem anterior $V_f=18,87m/s$

Por medio de la conservación de la energía, se tiene

$E_i=E_f \rightarrow \frac{1}{2}mV_i^{2}+mgh=\frac{1}{2}mV_f^{2}+mgh$

La suma de la energía potencial gravitacional más la energía cinética es igual al inicio como al final.

Al inicio del movimiento la velocidad inicial está dada por la catapulta, pero al llevar a la altura máxima, se tiene que toda la energía cinética se transformó en energía potencial, como sigue

$\frac{1}{2}mV_i^{2}=mgy_f$

Simplificando las masas, se puede encontrar la altura a la que llegan las piedras

$y_m\frac{V_i^{2}}{2g}$

Con el mismo teorema pero esta vez desde la parte más alta hasta hasta la línea donde está el inicio, se tiene

$mgy_i=\frac{1}{2}mV_f^{2}$

Simplificando las masas, la velocidad final está dada por

$V_f=\sqrt{mgy_f}$

Haciendo la comparación con la velocidad final, se tiene que en este mismo punto la velocidad final es igual a la velocidad inicial.

Partiendo desde este punto, y usando el teorema de nuevo pero esta vez con la velocidad final calculada, como la velocidad inicial, se tiene

$\frac{1}{2}mV_i^{2}=\frac{1}{2}mV_f^{2}-mgh$

En este caso, dado que el punto de impacto está debajo del sistema de referencia, la energía potencial toma el signo de la altura en ese punto. Simplificando las masas y despejando la velocidad final, se tiene

$V_f=\sqrt{V_i^{2}+2gh}$

Y con el razonamiento dado sobre la similitud de la velocidad final y la inicial en el mismo punto, se usa la velocidad inicial suministrada, y se encuentra la velocidad final, como sigue

$V_f=\sqrt{(14,6m/s)^{2}+2*9,8m/s^{2}*7,3m}=18,87m/s$