Question

En la ecuación x^2 – (k – 18)x + (2k – 16) = 0, ¿qué valor debe tener k para que el producto de las raíces sea 8?

Answer 1

Raíces se le llama al valor de x que soluciona la ecuación, en esencia la que la vuelve cero. Como es de grado 2 la ecuación entonces deben existir 2 raíces. Lo que vas a hacer es usar la fórmula del bachiller tal y como la enseñan sin importarte que haya una k de por medio.
La fórmula del bachiller es: x = (-b +- raiz(b^2 - 4ac))/2a
En tu formula a, b y c son:
a = 1
b = -(k-18)
c = (2k-16)
Como van a salir 2 respuestas de allí, te debes asegurar que la multiplicación de ambas de 8, por lo tanto:
8 = [((k-18) - raiz((k-18)^2 - 4(2k-16)))/2]*[((k-18) + raiz((k-18)^2 - 4(2k-16)))/2]

8 = [(k - 18 - raiz(k^2 - 36k + 324 - 8k + 64))/2]*[(k - 18 + raiz(k^2 - 36k + 324 - 8k + 64))/2]

32 = [(k - 18 - raiz(k^2 - 44k + 388))]*[(k - 18 + raiz(k^2 - 44k + 388))]

32 = k^2 - 18k + raiz(k^2 - 44k + 388)*k - 18k + 324 - 18*raiz(k^2 - 44k + 388) - raiz(k^2 - 44k + 388)*k + 18*raiz(k^2 - 44k + 388) - k^2 + 44k - 388

32 =  - 18k - 18k + 324 + 44k - 388

32 =  8k - 64

0 =  8k - 96

k = 12

La respuesta es k=12. Mira que si reemplazas en la fórmula k con 12 te da que las raíces son -2 y -4 la cuales al multiplicarse dan 8