: En la ciudad del cusco, una de las familias emprendedoras, dedicada a la venta de chalinas, chompas, gorras y guantes, coloco S/ 20 el precio de una chalina. Se vendieron en promedio 100 chalinas semanales. Se observa que, por cada disminución de S/1 en el precio, se vendía 10 chalinas.
Determina lo siguiente:
a) La función cuadrática que establece dicho negocio.
b) El precio que debe tener la chalina para obtener el ingreso semanal máximo.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Datos:
Costo de cada chalina : S/.20
Número de chalinas vendidas por semana : 100
Ingreso semanal :100× S/.20= S/.2000
Descuento del costo por unidad : x
Nuevo costo por unidad : 20 – x
Nuevo número de chalinas vendidas por semana : 100+10x
Luego la la función que representa el ingreso por semana , lo representaremos por f(x) , que será igual al multiplicar el total de chalinas vendidas y el nuevo costo por unidad , es decir :
f(x)=(100+10x)(20 – x)
Factorizando 10 :
f(x)=10(10+x)(20 – x)
Al multiplicar los binomios resulta :
f(x)=10(200 –10x+20x –x²)
f(x)=10(200+10x – x²)
Factorizando el menos :
f(x)=10{ 200 – (x²– 10x) }
Tratando de formar un trinomio cuadrado perfecto o binomio resta al cuadrado
(a – b)2 = a2 – 2ab+b2 , haciendo el artificio del quita y pon , en este caso aumentaremos 25 y a la vez lo quitaremos :
f(x)=10{ 200 – (x² – 10x + 25 – 25) }
f(x)=10{ 200 – (x–5)² + 25) }
f(x)=10{ 225 – (x–5)² }
Luego el f(x) o el ingreso será máximo cuando al 225 le quitemos algo pequeño o mínimo , es decir (x–5)² debe ser lo mínimo posible
Y debemos saber que todo número al cuadrado siempre es mayor o igual que cero (N² ≥ 0 ), y su mínimo será cero , entonces lo mínimo que puede tomar (x–5)² será cuando ((x–5)²=0 es decir x–5=0
entonces x=5 para que el ingreso sea máximo
Por lo tanto las respuestas serán :
• La función cuadrática que establece dicho negocio.
f(x)=10(200+10x – x²)
• El precio que debe tener la chalina para obtener el ingreso semanal máximo.
Nuevo costo por unidad : 20 – 5= 15 soles.
Explicación paso a paso:
Espero te sirva...
<3 UwU
fernancruzado
La formula que rige el comportamiento de dicho negocio es: f(x)= - 10x² + 100x + 2000 , y deben vender cada chalina en 15 soles para obtener máximo ingreso semanal.
Ordenando los datos:
- Costo de cada chalina: S/.20
- Número de chalinas vendidas por semana : 100
- Ingreso semanal: 100× S/.20= S/.2000
- Descuento del costo por unidad: x
- Nuevo costo por unidad: 20 – x
- Nuevo número de chalinas vendidas por semana: 100+10x
a) La función cuadrática que establece dicho negocio
La función que representa el ingreso por semana [f(x)], es igual a la multiplicación del total de chalinas vendidas y el nuevo costo por unidad , es decir:
f(x)=(100+10x)(20 – x)
Resolviendo
f(x)=100*20 -100*x+10*x*20-10*x*x
f(x)=2000 -100x+200x-10x²
f(x)=2000 +100x-10x²
Por lo tanto la formula que rige el comportamiento de dicho negocio es:
f(x)= - 10x² + 100x + 2000
b) El precio que debe tener la chalina para obtener el ingreso semanal máximo.
Para determinar el precio que debe tener cada chalina para sacar el máximo rendimiento, se debe derivar dicha ecuación para encontrar máximos y mínimos.
f(x)= - 10x² + 100x + 2000
f´(x)= - 10(2)x + 100
f´(x)= - 20x + 100
Igualando a cero (Para encontrar máximos y mínimos)
f´(x)= - 20x + 100 =0
- 20x + 100 =0
20x=100
x=100/20
x=5
Por lo tanto deben descontar 5 unidades del precio de venta, con lo cual deben vender cada chalina en 15 soles, para obtener el máximo beneficio posible.
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